已知函數(shù)f(x)=
x+1-aa-x
,a∈R
.利用函數(shù)y=f(x)構造一個數(shù)列{xn},方法如下:對于定義域中給定的x1,令x2=f(x1),x3=f(x2),…,xn=f(xn-1)(n∈N*),…如果取定義域中任一值作為x1,都可以用上述方法構造出一個無窮數(shù)列{xn}.
(1)求實數(shù)a的值;
(2)若x1=1,求(x1+1)(x2+1)…(xn+1)的值;
(3)設Tn=(x1+1)(x2+1)…(xn+1)(n∈N*),試問:是否存在n使得Tn+Tn+1+…+Tn+2006=2006成立,若存在,試確定n及相應的x1的值;若不存在,請說明理由?
分析:(1)根據(jù)題意可知,當x≠a時方程(1+a)x=a2+a-1無解,所以對于任意x∈R,(1+a)x=a2+a-1無解.由此能求出a.
(2)當a=-1時,對于x1≠-1,有x2=f(x1)=-
x1+2
x1+1
,x3=f(x2)=-
x2+2
x2+1
=x1
,同理得xn+2=xn對一切n∈N*都成立,即數(shù)列{xn}是一個以2為周期的周期數(shù)列.由此能求出(x1+1)(x2+1)…(xn+1)的值.
(3)由Tn=
1+x1,n=4k-3
-1,n=4k-2
-(1+x1),n=4k-1
1,n=4k
(k∈N*)
,知Tk+Tk+1+Tk+2+Tk+3=0(k∈N*),若Tn+Tn+1+…+Tn+2006=2006,則Tn+Tn+1+Tn+2=2006(n∈N*),由此能求出當n=4k,x1=2005或n=4k-2,x1=-2007時Tn+Tn+1+…+Tn+2006=2006.
解答:解:(1)根據(jù)題意可知,xi≠a(i=1,2,3,…),
則x≠a,
且方程
x+1-a
a-x
=a
無解,--(2分)
即當x≠a時方程(1+a)x=a2+a-1無解,
由于x=a不是方程(1+a)x=a2+a-1的解,
所以對于任意x∈R,(1+a)x=a2+a-1無解.
則a+1=0,且 a2+a-1≠0,
故a=-1.-----(6分)
(2)當a=-1時,對于x1≠-1,
x2=f(x1)=-
x1+2
x1+1
,x3=f(x2)=-
x2+2
x2+1
=x1

同理得xn+2=xn對一切n∈N*都成立,
即數(shù)列{xn}是一個以2為周期的周期數(shù)列.--(10分)
x2n-1=1,x2n=-
3
2
,
(x1+1)(x2+1)…(xn+1)=
2,n=4k-3
-1,n=4k-2
-2,n=4k-1
1,n=4k
(k∈N*)
-----(12分)
(3)由(2)易知:Tn=
1+x1,n=4k-3
-1,n=4k-2
-(1+x1),n=4k-1
1,n=4k
(k∈N*)
-----(14分)
則Tk+Tk+1+Tk+2+Tk+3=0(k∈N*),
若Tn+Tn+1+…+Tn+2006=2006,
則Tn+Tn+1+Tn+2=2006(n∈N*),
Tn+Tn+1+Tn+2=
1+x1,n=4k
-1,n=4k-3
-(1+x1),n=4k-2
1,n=4k-1
(k∈N*)
-----(18分)
故當n=4k,x1=2005或n=4k-2,x1=-2007時,
Tn+Tn+1+…+Tn+2006=2006-(20分)
點評:本題考查函數(shù)與數(shù)列的綜合應用,解題時要認真審題,仔細解答,注意合理地進行等價轉化.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù),且f(3)<f(5).
(1)求m的值,并確定f(x)的解析式;
(2)若g(x)=loga[f(x)-ax](a>0且a≠1),是否存在實數(shù)a,使g(x)在區(qū)間[2,3]上的最大值為2,若存在,請求出a的值,若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:浙江省東陽中學高三10月階段性考試數(shù)學理科試題 題型:022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a,b]上連續(xù)不斷,f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),其中,min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值,若存在最小正整數(shù)k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)對任意的x∈[a,b]成立,則稱函數(shù)f(x)為[a,b]上的“k階收縮函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=x2,x∈[-1,4]為[-1,4]上的“k階收縮函數(shù)”,則k的值是_________.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當a=1,b=2時,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對任意0<a<b恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(3)設k、c>0,當a=k2,b=(k+c)2時,記f(x)=f1(x);當a=(k+c)2,b=(k+2c)2時,記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2009-2010學年河南省許昌市長葛三高高三第七次考試數(shù)學試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題

已知函數(shù)f(x)、g(x),下列說法正確的是( )
A.f(x)是奇函數(shù),g(x)是奇函數(shù),則f(x)+g(x)是奇函數(shù)
B.f(x)是偶函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)是偶函數(shù)
C.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

查看答案和解析>>

同步練習冊答案