Question

如圖，ABCD是圓柱的軸截面，點(diǎn)E在底面的圓周上，AF⊥DE，F(xiàn)是垂足．
（1）求證：AF⊥DB；
（2）如果AB=a，圓柱與三棱錐D-ABE的體積比等于3π，求點(diǎn)E到截面ABCD的距離．

Answer 1

分析：（1）要證AF⊥DB，只需證明AF垂直DB所在的平面DEB，即證明AF垂直平面DEB內(nèi)的兩條相交直線EB、DE即可．
（2）如果AB=a，設(shè)點(diǎn)E到平面ABCD的距離為d，記AD=h，求出圓柱體積求出三棱錐D-ABE的體積，它們的比等于3π，然后求點(diǎn)E到截面ABCD的距離．

解答：（1）證明：根據(jù)圓柱性質(zhì)，DA⊥平面ABE，
∵EB?平面ABE，
∴DA⊥EB，
∵AB是圓柱底面的直徑，點(diǎn)E在圓周上，
∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，故得EB⊥平面DAE，
∵AF?平面DAE，
∴EB⊥AF，
又AF⊥DE，且EB∩DE=E，故得AF⊥平面DEB，
∵DB?平面DEB，
∴AF⊥DB．

（2）解：設(shè)點(diǎn)E到平面ABCD的距離為d，記AD=h，因圓柱軸截面ABCD是矩形，所以AD⊥AB．
S_△ABD=

1

2

AB•AD=

ah

2

∴V_D-ABE=V_E-ABD=

d

3

S_△ABD=

1

6

dah
又V_圓柱=π(

AB2

2

)•AD=

π

4

a²h
由題設(shè)知

π 4 a2h

1 6 dah

=3π，即d=

a

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間線面關(guān)系、圓柱性質(zhì)、空間想象能力和邏輯推理能力，計(jì)算能力，是中檔題．