Question

如圖，已知兩個正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點．
（1）若CD=2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的長；
（2）用反證法證明：直線AN與BE是兩條異面直線．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）首先利用面面垂直轉(zhuǎn)化成線面垂直，進一步利用勾股定理求出線段MN的長．
（2）直接假設(shè)直線AN與BE不是兩條異面直線，則：AN和BE是共面直線．利用線面平行的判定和性質(zhì)，和平行線的傳遞性得出矛盾，得出假設(shè)錯誤，進一步說明AN和BE是異面直線．

解答： 解：（1）已知兩個正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點．
取CD的中點G，連接MG，NG，
由于：M，G分別是AB，CD的中點，
所以：MG∥BC
平面ABCD⊥平面DCEF，
BC⊥CD，MG∥BC，
所以：MG⊥平面DCEF
MG⊥GN，
所以：△MGN是直角三角形．
所以：MN²=MG²+NG²，CD=2
MG=2，GD=DN=1
解得：MN=

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（2）證明：假設(shè)直線AN與BE不是兩條異面直線，
則：AN和BE是共面直線．
則：平面ABEN與平面CDEF相交于NE．
由于AB?平面CDEF，AB∥平面CDEF，
所以：AB∥NE
由于：AB∥CD∥EF
則：NE∥EF
由于NE與EF相交于E，
所以與NE∥EF相矛盾．
所以假設(shè)錯誤．
故：直線AN與BE是兩條異面直線．

點評：本題考查的知識要點：線面垂直與面面垂直之間的轉(zhuǎn)化，勾股定理的應(yīng)用．反證法的應(yīng)用．屬于基礎(chǔ)題型．