Question

【題目】如圖1，在邊長為3的正三角形中， ， ， 分別為， ， 上的點(diǎn)，且滿足.將沿折起到的位置，使平面平面，連結(jié)， ， .（如圖2）

（Ⅰ）若為中點(diǎn)，求證： 平面；

（Ⅱ）求證： ；

（Ⅲ）求與平面所成角的正切.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）

【解析】試題分析：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)， .由三角中位線可證四邊形為平行四邊形，則，再由線線平行到線面平行；（Ⅱ）取中點(diǎn)，連結(jié)，由所給數(shù)據(jù)可證平面平面，再由面面垂直，線面垂直的性質(zhì)可得；（Ⅲ）作于，連接，則，可得為與平面所成角，可求其正切值．

試題解析：證明：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)， .

在中， ， 分別為， 的中點(diǎn)，

所以，且.

因?yàn)?/span>，

所以，且，

所以， .

所以四邊形為平行四邊形.

所以.

又因?yàn)?/span>平面，且平面，所以平面.

（Ⅱ）取中點(diǎn)，連結(jié).

因?yàn)?/span>， ，

∴，

而，即是正三角形.

又因?yàn)?/span>，所以.

所以在圖2有.

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面所以平面由平面所以

（Ⅲ）作于，連接，則

因?yàn)?/span>， ， ，因此平面，

因此平面，因此是在平面內(nèi)的射影，

因此為與平面所成角，

， ，

中， ，于是

因此，

因此與平面所成角的正切為