Question

在邊長為1的正方形ABCD中，E為AB的中點，P為以A為圓心，AB為半徑的圓在正方形內的圓弧上的任意一點，設向量

AC

=λ

DE

+μ

AP

．
（Ⅰ）求點（μ，λ）的軌跡方程（不需限制變量取值范圍）；
（Ⅱ）求λ+μ的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）如圖，
以A為原點，以AB所在的為x軸，建立坐標系，設正方形ABCD的邊長為1，
設E（

1

2

，0），C（1，1），D（0，1），A（0，0）．
設P（cosθ，sinθ），∴

AC

=（1，1）．
由向量

AC

=λ

DE

+μ

AP

=λ（

1

2

，-1）+μ（cosθ，sinθ）
=（

λ

2

+μcosθ，-λ+μsinθ）=（1，1），
∴

λ

2

+μcosθ=1，-λ+μsinθ=1，
即μcosθ=1-

λ

2

①，
μsinθ=1+λ ②．
①²+②²得：5λ²+4λ-4μ²+8=0；
（Ⅱ）由

λ

2

+μcosθ=1，-λ+μsinθ=1，
∴

λ= 2sinθ-2cosθ sinθ+2cosθ μ= 3 sinθ+2cosθ

，
∴λ+μ=

2sinθ-2cosθ+3

sinθ+2cosθ

，
由題意可知：0≤θ≤

π

2

，∴0≤sinθ≤1，0≤cosθ≤1，
∴當cosθ取得最大值1時，同時sinθ取得最小值0，這時λ+μ取最小值為

0-2+3

0+2

=

1

2

．
∴λ+μ的最小值為

1

2

．