Question

已知函數(shù)f（x）=lnax（a≠0，a∈R），．
（Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，解關(guān)于x的不等式：1+e^f（x）+g（x）＞0；
（Ⅱ）若f（x）≥g（x）（x≥1）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)a=1時(shí)，記h（x）=f（x）-g（x），過(guò)點(diǎn)（1，-1）是否存在函數(shù)y=h（x）圖象的切線？若存在，有多少條？若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（I）當(dāng)a=3時(shí)，原不等式可化為：1+e^ln3x+＞0；
等價(jià)于，解得x，
故解集為
（Ⅱ）∵對(duì)x≥1恒成立，所以，
令，可得h（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞減，
故h（x）在x=1處取到最大值，故lna≥h（1）=0，可得a=1，
故a的取值范圍為：[1，+∞）
（Ⅲ）假設(shè)存在這樣的切線，設(shè)切點(diǎn)T（x₀，），
∴切線方程：y+1=，將點(diǎn)T坐標(biāo)代入得：
即，①
設(shè)g（x）=，則
∵x＞0，∴g（x）在區(qū)間（0，1），（2，+∞）上是增函數(shù)，在區(qū)間（1，2）上是減函數(shù)，
故g（x）_極大=g（1）=1＞0，故g（x）_{極，小}=g（2）=ln2+＞0，．
又g（）=+12-6-1=-ln4-3＜0，
由g（x）在其定義域上的單調(diào)性知：g（x）=0僅在（，1）內(nèi)有且僅有一根，
方程①有且僅有一解，
故符合條件的切線有且僅有一條．
分析：（I）把a(bǔ)=3代入化簡(jiǎn)后不等式易解；
（Ⅱ）把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來(lái)求解；
（Ⅲ）設(shè)出切點(diǎn)，用導(dǎo)數(shù)工具刻畫(huà)出函數(shù)的單調(diào)性和關(guān)鍵點(diǎn)，進(jìn)而得出切線的情況．
點(diǎn)評(píng)：本題為函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合，涉及不等式的解法和函數(shù)恒成立問(wèn)題以及切線問(wèn)題，屬中檔題．