Question

下列說法：
①函數(shù)f(x)=2cos2(

π

4

-x)-1是最小正周期為π的偶函數(shù)；
②函數(shù)y=cos(

π

4

-2x)+1可以改寫為y=sin(

π

4

+2x)+1；
③函數(shù)y=cos(

π

4

-2x)+1的圖象關(guān)于直線x=

5π

8

對稱；
④函數(shù)y=tanx的圖象的所有的對稱中心為（kπ，0），k∈Z；
⑤將函數(shù)y=sin2x的圖象先向左平移

π

4

個(gè)單位，然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來
的2倍，所得圖象的函數(shù)解析式是y=sin(x+

π

4

)；
其中所有正確的命題的序號是

②③

．（請將正確的序號填在橫線上）

Answer 1

分析：①把函數(shù)解析式利用二倍角的余弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡為一個(gè)角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式求出函數(shù)的最小正周期，且根據(jù)正弦函數(shù)為奇函數(shù)，得到函數(shù)f（x）也為奇函數(shù)，即可作出判斷；
②根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)解析式，即可作出判斷；
③由②化簡得到的函數(shù)解析式，令其角度等于kπ，求出x的解，判斷x=

5π

8

屬于求出的x的解集，故本選項(xiàng)正確；
④先根據(jù)正切函數(shù)是奇函數(shù)，因而原點(diǎn)（0，0）是它的對稱中心，以及周期性可知點(diǎn)（kπ，0）都是它的對稱中心，然后平移坐標(biāo)系，使原點(diǎn)（0，0）移到（

π

2

，0）得到y(tǒng)=tan（x+

π

2

）=-cotx，依舊是奇函數(shù)，點(diǎn)（kπ-

π

2

，0）也是對稱中心，綜合到一起就得到對稱中心是（k

π

2

+

π

2

，0）．（k是整數(shù)）；
⑤先根據(jù)“左加右減”的平移規(guī)律把函數(shù)解析式進(jìn)行變形，然后再根據(jù)伸縮規(guī)律把解析式中x變?yōu)?span id="ixvo7pv" class="MathJye">

1

2

x，即可得到變換后的解析式，作出判斷．

解答：解：①函數(shù)f(x)=2cos2(

π

4

-x)-1
=cos（

π

2

-2x）
=sin2x，
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π，
又正弦函數(shù)為奇函數(shù)，∴f（x）為奇函數(shù)，
則f（x）為周期為π的奇函數(shù)，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
②函數(shù)y=cos(

π

4

-2x)+1
=cos[

π

2

-（

π

4

+2x）]+1
=sin（

π

4

+2x）+1，本選項(xiàng)正確；
③函數(shù)y=cos(

π

4

-2x)+1
=cos[

π

2

-（

π

4

+2x）]
=sin（

π

4

+2x），
令

π

4

+2x=kπ，（k∈Z）
解得x=

kπ

2

-

π

8

，
∵k=4時(shí)，x=

5π

8

，
則函數(shù)圖象關(guān)于直線x=

5π

8

對稱，本選項(xiàng)正確；
④tan（-x）=-tanx，因此正切函數(shù)是奇函數(shù)，因而原點(diǎn)（0，0）是它的對稱中心．
又因?yàn)檎�切函�?shù)的周期是π，所以點(diǎn)（kπ，0）都是它的對稱中心．
平移坐標(biāo)系，使原點(diǎn)（0，0）移到（

π

2

，0）得到y(tǒng)=tan（x+

π

2

）=-cotx，依舊是奇函數(shù)，
所以在新坐標(biāo)系中點(diǎn)（kπ，0）也是對稱中心，返回原坐標(biāo)系，這些點(diǎn)的原坐標(biāo)是（kπ-

π

2

，0）
綜合到一起就得到對稱中心是（k

π

2

+

π

2

，0）．（k是整數(shù)），本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
⑤將函數(shù)y=sin2x的圖象先向左平移

π

4

個(gè)單位，
得到y(tǒng)=sin2（x+

π

4

），
然后縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，
所得圖象的函數(shù)解析式為y=sin2（

1

2

x+

π

4

）=sin（x+

π

2

）≠sin(x+

π

4

)，
本選項(xiàng)錯(cuò)誤，
則正確選項(xiàng)的序號為：②③．
故答案為：②③

點(diǎn)評：此題綜合考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，三角函數(shù)的恒等變形，余弦函數(shù)的對稱性，以及三角函數(shù)的圖象變換規(guī)律，涉及的知識有：二倍角的余弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，函數(shù)奇偶性的判斷，以及函數(shù)平移的規(guī)律，要求學(xué)生要融匯貫穿，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．