Question

已知函數(shù)f(x)=1+

1

x-1

，g(x)=f(2|x|)．
（I）求函數(shù)f（x）和g（x）的定義域；
（II）函數(shù)f（x）和g（x）是否具有奇偶性，并說(shuō)明理由；
（III）證明函數(shù)g（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)．

Answer 1

（I）g(x)=f(2|x|)=1+

1

2|x|-1

，
∵2^|x|-1≠0?x≠0又1-x≠0?x≠1
函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠1}
函數(shù)g（x）的定義域{x|x∈R且x≠0}…（5分）
（II）由f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠1}可知函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)，
又g(-x)=1+

1

2|-x|-1

=1+

1

2|x|-1

=g(x)，
且函數(shù)g（x）的定義域{x|x∈R且x≠0}的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴g（x）為偶函數(shù)…（10分）
（III）設(shè)x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂
g(x1)-g(x2)=

1

2|x1|-1

-

1

2|x2|-1

=

2|x2|-2|x1|

(2|x1|-1)(2|x2|-1)

，
∵x₁，x₂∈（-∞，0）且x₁＜x₂，
∴|x₁|＞|x₂|＞0
所以2|x1|＞2|x2|，2|x2|-2|x1|＜0，
2|x1|-1＞0，2|x2|-1＞0?g(x1)＜g(x2)
根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義知  函數(shù)g（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)…（15分）