Question

已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且準(zhǔn)線方程為x=-1．
（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過拋物線C焦點(diǎn)的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，如果要同時滿足：①|(zhì)AB|≤8；②直線l與橢圓3x²+2y²=2有公共點(diǎn)，試確定直線l傾斜角的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可設(shè)拋物線C的方程為y²=2px，（p＞0），已知準(zhǔn)線方程為x=-1，可得-

p

2

=-1，即可解得p；
（2）由拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程y²=4x，可得焦點(diǎn)F（1，0）．設(shè)直線l傾斜角為α，以下分類討論：
（i）當(dāng)直線l⊥x軸時，弦長|AB|=2p=4．滿足：聯(lián)立

x=1 3x2+2y2=2

，無解，因此不滿足條件直線l與橢圓3x²+2y²=2有公共點(diǎn)，故直線l傾斜角α≠

π

2

．
（ii）當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）．（k≠0）．與拋物線的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長公式|AB|=x₁+x₂+p≤8，得到k的一個范圍；與橢圓的方程聯(lián)立得到△≥0，由得到k的一個范圍，與上面的聯(lián)立即可得出，進(jìn)而得到α的取值范圍．

解答：解：（1）由題意可設(shè)拋物線C的方程為y²=2px，（p＞0），∵準(zhǔn)線方程為x=-1，∴-

p

2

=-1，解得p=2．
∴拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=4x；
（2）由拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程y²=4x，可得焦點(diǎn)F（1，0）．
設(shè)直線l傾斜角為α，以下分類討論：
（i）當(dāng)直線l⊥x軸時，弦長|AB|=2p=4．滿足：①|(zhì)AB|≤8；
②聯(lián)立

x=1 3x2+2y2=2

，無解，因此不滿足條件直線l與橢圓3x²+2y²=2有公共點(diǎn)，故直線l傾斜角α≠

π

2

．
（ii）當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）．（k≠0）．
聯(lián)立

y=k(x-1) y2=4x

，化為k²x²-（2k²+4）x+k²=0．∴x1+x2=

2k2+4

k2

，
∴|AB|=x₁+x₂+p=

2k2+4

k2

+2≤8，化為k²≥1．①
聯(lián)立

y=k(x-1) 3x2+2y2=2

，化為（3+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
若直線l與橢圓3x²+2y²=2有公共點(diǎn)，則△=16k⁴-4（3+2k²）（2k²-2）≥0，化為k²≤3，②．
聯(lián)立①②可得：1≤k²≤3，解得-

3

≤k≤-1或1≤k≤

3

．
∴

2π

3

≤α≤

3π

4

或

π

4

≤α≤

π

3

．

點(diǎn)評：本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、△≥0、直線的斜率與傾斜角的關(guān)系等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．