Question

已知橢圓E的焦點在x軸上，離心率為

1

2

，對稱軸為坐標軸，且經(jīng)過點（1，

3

2

）．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）直線y=kx-2與橢圓E相交于A，B兩點，在OA上存在一點M，OB上存在一點N，使得

MA

=

1

2

AB

，若原點O在以MN為直徑的圓上，求直線斜率k的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意設出橢圓E的方程，根據(jù)離心率的值以及橢圓經(jīng)過點（1，

3

2

），待定系數(shù)法求出橢圓的方程．
 （Ⅱ）把直線的方程代入橢圓的方程，使用根與系數(shù)的關系，再利用OM⊥ON 及

MA

=

1

2

AB

，
通過

OA

•

OB

=0，解方程求出k的值．

解答：解：（Ⅰ）依題意，可設橢圓E的方程為

x

a2

2+

y

b2

2=1(a＞b＞0)，
∵

c

a

=

1

2

，∴a=2c，又 b²=a²-c²=3c²，∵橢圓經(jīng)過點（1，

3

2

），
∴橢圓的方程為 

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）記A、B 兩點坐標分別為A（x₁，x₂ ），B （x₂，y₂），

y=kx-2 x2 4 + y2 3 =1

 消去y，得 （4k²+3）x²-16kx+4=0，∵直線與橢圓有兩個交點，
∴△=（16k）²-16（4k²+3）＞0，∴k²＞

1

4

，
由韋達定理 x1 +x2=

16k

4k2+3

，x1x2=

4

4k2+3

，∵原點O在以MN為直徑的圓上，
∴OM⊥ON，即

OM

•

ON

=0，∵

MN

=

1

2

AB

，M在OA上，N在OB上，
∴

OA

•

OB

=0，又

OA

=（x₁，y₁ ），

OB

=（x₂，y₂ ），
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁-2）（kx₂-2）
=（k²+1）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=（k²+1）

4

4k2+3

-2k

16k

4k2+3

+4=0．
∴k²=

4

3

＞

1

2

，∴k=±

2 3

3

．

點評：本題考查橢圓的簡單性質，用待定系數(shù)法求橢圓的方程，一元二次方程根與系數(shù)的關系，以及兩個向量坐標形式的運算．