Question

5．已知曲線C的方程為x²+y²=1，A（-2，0），存在一定點B（b，0）（b≠-2）和常數(shù)λ，對曲線C上的任意一點M（x，y），都有|MA|=λ|MB|成立，則點P（b，λ）到直線（m+n）x+ny+2n+2m=0距離的最大值為$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

Answer 1

分析 利用|MA|=λ|MB|，可得（x+2）²+y²=λ²（x-b）²+λ²y²，由題意，取（1，0）、（-1，0）分別代入，即可求得b、λ，直線（m+n）x+ny+2n+2m=0，即m（x+2）+n（x+y+2）=0過點（1，1），利用兩點間的距離公式，即可得出結(jié)論．

解答 解：

設(shè)M（x，y），則
∵|MA|=λ|MB|，
∴（x+2）²+y²=λ²（x-b）²+λ²y²，
由題意，�。�1，0）、（-1，0）分別代入可得$\left\{\begin{array}{l}{（1+2）^{2}={λ}^{2}（1-b）^{2}}\\{（-1+2）^{2}={λ}^{2}（-1-b）^{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{_{1}=-\frac{1}{2}}\\{{λ}_{1}=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{_{2}=-\frac{1}{2}}\\{{λ}_{2}=-2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{_{3}=-2}\\{λ=1}\end{array}\right.$（舍去），$\left\{\begin{array}{l}{_{4}=-2}\\{{λ}_{4}=-1}\end{array}\right.$（舍去）．
∴點P的坐標(biāo)是（-$\frac{1}{2}$，2）或（-$\frac{1}{2}$，-2）．
∵直線（m+n）x+ny+2n+2m=0，即m（x+2）+n（x+y+2）=0過點（-2，0），
∴符合條件的點是（-$\frac{1}{2}$，2），則點P（-$\frac{1}{2}$，2）到直線（m+n）x+ny+2n+2m=0距離的最大值為$\sqrt{（-\frac{1}{2}+2）^{2}+（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點評 本題考查圓的方程，考查賦值法的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．