Question

若二項式(3x+

1

x2

)n的展開式中各項系數(shù)的和是64，則這個展開式中的常數(shù)項為

27

．（用數(shù)字作答）

Answer 1

分析：利用二項式各項系數(shù)的和和公式列出方程求出n的值，將n的值代入二項式，利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，令x的指數(shù)為0求出r的值，將r的值代入通項求出常數(shù)項．

解答：解：∵當x=1時可以求得開式中各項的系數(shù)的和為4ⁿ．
令4ⁿ=64
解得n=3
∴(3x+

1

x2

)n=(3x+

1

x2

)3
展開式的通項為T_r+1=C₃^r（3x）^3-r(

1

x2

)r=3^3-r×C₃^r×x^3-3r．
令3-3r=0得r=1
∴展開式中的常數(shù)項的值為3²×C₃¹=27．
故答案為：27．

點評：解決二項展開式的特定項問題一般利用二項展開式的通項公式；二項式系數(shù)和公式為2ⁿ．令x=1可得所有項系數(shù)的和．