Question

已知x+2y+3z=1，則x²+y²+z²取最小值時，x+y+z的值為

3

7

．

Answer 1

分析：由柯西不等式可知：（x+2y+3z）²≤（x²+y²+z²）（1²+2²+3²），故x²+y²+z²≥

1

14

，當(dāng)且僅當(dāng)

x

1

=

y

2

=

z

3

取等號，此時y=2x，z=3x，x+2y+3z=14x=1，由此能求出x+y+z的值．

解答：解：由柯西不等式可知：（x+2y+3z）²≤（x²+y²+z²）（1²+2²+3²）
故x²+y²+z²≥

1

14

，當(dāng)且僅當(dāng)

x

1

=

y

2

=

z

3

取等號，
此時y=2x，z=3x，x+2y+3z=14x=1，
∴x=

1

14

，y=

2

14

，x=

3

14

，
x+y+z=

6

14

=

3

7

．
故答案為：

3

7

．

點評：本題考查柯西不等式的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意x²+y²+z²取最小值時的條件的靈活運用．