Question

6．已知拋物線y²=2px（p＞0），過(guò)點(diǎn)C（-2，0）的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=12．
（I）求拋物線的方程；
（Ⅱ）當(dāng)以AB為直徑的圓與y軸相切時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)l：x=my-2，代入y²=2px，可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=12，可得x₁x₂+y₁y₂=12，代入即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）（?）化為y²-4my+8=0．設(shè)AB的中點(diǎn)為M，可得|AB|=2x_m=x₁+x₂=m（y₁+y₂）-4=4m²-4，又|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$|y₁-y₂|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）（16{m}^{2}-32）}$，聯(lián)立解出m即可得出．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)l：x=my-2，代入y²=2px，
可得y²-2pmy+4p=0．（?）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則y₁+y₂=2pm，y₁y₂=4p，
則x₁x₂=$\frac{{y}_{1}^{2}}{2p}•\frac{{y}_{2}^{2}}{2p}$=4．
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=12，
∴x₁x₂+y₁y₂=12，
即4+4p=12，
得p=2，拋物線的方程為y²=4x．
（Ⅱ）由（Ⅰ）（?）化為y²-4my+8=0．
y₁+y₂=4m，y₁y₂=8．
設(shè)AB的中點(diǎn)為M，
則|AB|=2x_m=x₁+x₂=m（y₁+y₂）-4=4m²-4，①
又|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$|y₁-y₂|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）（16{m}^{2}-32）}$，②
由①②得（1+m²）（16m²-32）=（4m²-4）²，
解得m²=3，m=±$\sqrt{3}$．
∴直線l的方程為x+$\sqrt{3}$y+2=0，或x-$\sqrt{3}$y+2=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式、弦長(zhǎng)公式、直線與圓相切的性質(zhì)、數(shù)量積運(yùn)算，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．