Question

（2008•黃岡模擬）甲、乙、丙、丁四人做相互傳球練習，第一次甲傳給其他三人中的一人，第二次由拿球者再傳給其他三人中的一人，…，且拿球者傳給其他三人中的任何一人都是等可能的，求：
（Ⅰ）共傳了四次，第四次球傳回到甲的概率；
（Ⅱ）若規(guī)定：最多傳五次球，且在傳球過程中，球傳回到甲手中即停止傳球；設ξ表示傳球停止時傳球的次數(shù)，求P（ξ=5）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知，第三次傳球后，球不能在甲的手中，第四次傳球后，球一定在甲的手中，而第二次傳球后，球可在甲的手中，也可不在甲的手中．
分類討論，計算可得答案．
（Ⅱ）ξ=5說明第二次、第三次、第四次、第五次傳球的都不是甲，方法有3×2×2×2×3種，而所有的傳球方法共有3⁵種，由此求得P（ξ=5）的值．

解答：解：（Ⅰ）由于每個人都有3種傳球方法，故4此傳球的方法總數(shù)為3⁴=81．
第三次傳球后，球不能在甲的手中，第四次傳球后，球一定在甲的手中．
而第二次傳球后，球可在甲的手中，也可不在甲的手中．
若第二次傳球后，球在甲的手中，則傳球的方法數(shù)為：3×1×3×1=9，
若第二次傳球后，球不在甲的手中，則傳球的方法數(shù)為：3×2×2×1=12，
故第四次球傳回到甲的概率為

9+12

81

=

7

27

．
（Ⅱ）ξ=5說明第二次、第三次、第四次、第五次傳球的都不是甲，方法有3×2×2×2×3種，而所有的傳球方法共有3⁵種，
故P(ξ=5)=

3×2×2×2×3

35

=

8

27

．

點評：本題考查等可能事件的概率，體現(xiàn)分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．