若定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f(x)滿足f(1+x)=-f(x),則下列結(jié)論:
①f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(
1
2
,0)
對稱;
②f(x)的圖象關(guān)于直線x=
1
2
對稱;
③f(x)是周期函數(shù),且2個它的一個周期;
④f(x)在區(qū)間(-1,1)上是單調(diào)函數(shù).
其中正確結(jié)論的序號是
 
.(填上你認(rèn)為所有正確結(jié)論的序號)
分析:根據(jù)f(2+x)=-f(x+1)=f(x)可斷定函數(shù)f(x)為周期函數(shù),故可知③正確;根據(jù)f(x)為奇函數(shù),可知函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱
根據(jù)周期性及f(1+x)=-f(x)可知函數(shù)關(guān)于(k,0)對稱,排除①;根據(jù)f(1+x)=-f(x)可推知f(x+
1
2
)=f(
1
2
-x)進(jìn)而推知f(x)的圖象關(guān)于直線x=
1
2
對稱;f(x)在區(qū)間(-1,0)上和在(0,1)上均為單調(diào)函數(shù),但在(-1,1)不是單調(diào)函數(shù),故④不正確.
解答:解:f(2+x)=-f(x+1)=f(x),
∴函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù),故③是正確的.
∵f(x)為定義域?yàn)镽的奇函數(shù),
∴f(x)函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,
∵f(x)為周期函數(shù),周期為2且f(1+x)=-f(x),
∴f(x)函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(k,0)(k∈Z)對稱,故①不對.
∵f(1+x)=-f(x)
∴f(x+
1
2
)=f(x-
1
2
+1)=-f(x-
1
2
)=f(
1
2
-x)
∴f(x)的圖象關(guān)于直線x=
1
2
對稱,故②正確.
f(x)在區(qū)間(-1,0)上和在(0,1)上均為單調(diào)函數(shù),但在(-1,1)不是單調(diào)函數(shù),故④不正確.
點(diǎn)評:本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的綜合應(yīng)用.屬基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
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已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)y=f(x),當(dāng)x>0時,f(x)=3x-2
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23
,求a的值;
(Ⅱ)解不等式f(x)<1.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年安徽省皖南八校高三第一次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)卷 題型:填空題

若定義域?yàn)镽的奇函數(shù),

則下列結(jié)論:①的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱;

的圖象關(guān)于直線對稱;③是周期函數(shù),且2個它的一個周期;④在區(qū)間(—1,1)上是單調(diào)函數(shù),其中正確結(jié)論的序號是      。(填上你認(rèn)為所有正確結(jié)論的序號)

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

若定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f(x)滿足f(1+x)=-f(x),則下列結(jié)論:
①f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)數(shù)學(xué)公式對稱;②f(x)的圖象關(guān)于直線數(shù)學(xué)公式對稱;③f(x)是周期函數(shù),且2個它的一個周期;④f(x)在區(qū)間(-1,1)上是單調(diào)函數(shù),其中正確結(jié)論的序號是________.(填上你認(rèn)為所有正確結(jié)論的序號)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年安徽省皖南八校高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

若定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f(x)滿足f(1+x)=-f(x),則下列結(jié)論:
①f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱;②f(x)的圖象關(guān)于直線對稱;③f(x)是周期函數(shù),且2個它的一個周期;④f(x)在區(qū)間(-1,1)上是單調(diào)函數(shù),其中正確結(jié)論的序號是    .(填上你認(rèn)為所有正確結(jié)論的序號)

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