Question

已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且經(jīng)過點(diǎn)（-2，4）．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）求拋物線被直線2x+y+8=0所截得的弦長．

Answer 1

分析：（I）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=-2Px，（P＞0），代入點(diǎn)的坐標(biāo)求P，可得答案；
（II）聯(lián)立直線與拋物線方程組，解得交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間距離坐標(biāo)公式計算．

解答：解：（I）設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=-2Px，（P＞0），
∵點(diǎn)（-2，4）在拋物線上，∴4²=-2P×（-2）⇒P=4，
∴拋物線的方程為y²=-8x；
（II）設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立方程組

y2=-8x 2x+y+8=0

解得

x1=-2 y1=-4

，

x2=-8 y2=8

，
∴|AB|=

(-2+8)2+(-4-8)2

=6

5

．

點(diǎn)評：本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與拋物線的相交弦長問題，計算要細(xì)心．