Question

10．已知函數(shù)f（x）=x^k，x∈R，k為常數(shù)．
（Ⅰ）當k=3時，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；
（Ⅱ）當k=1時，設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+$\frac{4}{f（x）}$，判斷函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，2]上的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行判斷；
（Ⅱ）求出函數(shù)g（x）的表達式，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義進行判斷．

解答 解：（Ⅰ）當k=3時，f（x）=x³，則f（-x）=（-x）³=-x³=-f（x），
則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（Ⅱ）當k=1時，函數(shù)g（x）=f（x）+$\frac{4}{f（x）}$=x+$\frac{4}{x}$，
則函數(shù)在間（0，2]上的單調(diào)遞減，
證明：0＜x₁＜x₂≤2，
則$f（{x_1}）-f（{x_2}）={x_1}+\frac{4}{x_1}-{x_2}-\frac{4}{x_2}=（{x_1}-{x_2}）+\frac{{4（{x_2}-{x_1}）}}{{{x_1}{x_2}}}=（{x_1}-{x_2}）（1-\frac{4}{{{x_1}{x_2}}}）$=（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-4}{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∵0＜x₁＜x₂≤2，
∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜4，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，2]上的單調(diào)遞減．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．