Question

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）討論函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；

（2）若， 恒成立，求的最大整數(shù)值.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)， 在上沒(méi)有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)， 在上有一個(gè)極值點(diǎn).

（2）3.

【解析】試題分析：

(1)首先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后分類討論可得當(dāng)時(shí)， 在上沒(méi)有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)， 在上有一個(gè)極值點(diǎn).

(2)結(jié)合題中所給的條件構(gòu)造新函數(shù)（），結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得實(shí)數(shù)的最大整數(shù)值為3.

試題解析：

（1）的定義域?yàn)?/span>，且.

當(dāng)時(shí)， 在上恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞減.

∴在上沒(méi)有極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，令得；

列表

所以當(dāng)時(shí)， 取得極小值.

綜上，當(dāng)時(shí)， 在上沒(méi)有極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)， 在上有一個(gè)極值點(diǎn).

（2）對(duì)， 恒成立等價(jià)于對(duì)恒成立，

設(shè)函數(shù)（），則（），

令函數(shù)，則（），

當(dāng)時(shí)， ，所以在上是增函數(shù)，

又， ，

所以存在，使得，即，

且當(dāng)時(shí)， ，即，故在在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ，即，故在上單調(diào)遞增；

所以當(dāng)時(shí)， 有最小值，

由得，即，

所以，

所以，又，所以實(shí)數(shù)的最大整數(shù)值為3.