Question

11．已知S_n 為等差數(shù)列{a_n}的前n項和，a₁=25，a₄=16．
（1）求n為何值時，S_n 取得最大值？
（2）求a₂ +a₄+a₆+a₈+…+a₂₀的值．
（3）求數(shù)列{|a_n|}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）運用等差數(shù)列的通項公式可得d=-3，由數(shù)列的單調(diào)性，即可得到最大值時n的值；
（2）由等差數(shù)列的求和公式計算即可得到；
（3）當1≤n≤9時，a_n＞0，|a_n|=a_n，前n項和T_n=S_n，當n＞9時，a_n＜0，|a_n|=-a_n，前n項和T_n=-（S_n-S₉）+S₉=2S₉-S_n，由等差數(shù)列的求和公式，計算即可得到．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
由a₁=25，a₄=16可得3d=16-25=-9，
解得d=-3，
a_n=25-3（n-1）=28-3n，
可得數(shù)列{a_n}為遞減數(shù)列，當1≤n≤9時，a_n＞0，
當n＞9時，a_n＜0，
則當n=9時，S_n 取得最大值；
（2）a₂ +a₄+a₆+a₈+…+a₂₀=（28-6）+（28-12）+（28-18）+（28-24）+…+（28-60）
=$\frac{1}{2}$×（22-32）×10=-50；
（3）當1≤n≤9時，a_n＞0，|a_n|=a_n，
前n項和T_n=S_n=$\frac{1}{2}$（25+28-3n）n=$\frac{1}{2}$n（53-3n）；
當n＞9時，a_n＜0，|a_n|=-a_n，
前n項和T_n=-（S_n-S₉）+S₉=2S₉-S_n=2×117-$\frac{1}{2}$n（53-3n）
=234-$\frac{53}{2}$n+$\frac{3}{2}$n²．
則有T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}n（53-3n），n≤9}\\{234-\frac{1}{2}n（53-3n），n≥10}\end{array}\right.$．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項和求和公式的運用，考查數(shù)列的單調(diào)性的運用，以及含絕對值的數(shù)列的和的求法，注意分類討論的思想方法，屬于中檔題和易錯題．