已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦點為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0），且與直線l：x-y-1=0交于A，B兩點．
（1）若右頂點到直線l的距離等于
2
2
，求橢圓方程．
（2）設(shè)△AF1F2的重心為M，△BF1F2的重心為N，若原點O在以MN為直徑的圓內(nèi)，求a2的取值范圍．
（1）由橢圓右頂點到直線l的距離等于
2
2
，得
|a-0-1|
2
=
2
2
，解得a=2，由c=1，所以b2=a2-c2=3．
所以橢圓的方程為
x2
4
+
y2
3
=1；
（2）由題意設(shè)A（x1，x1-1），B（x2，x2-1），
由
y=x-1
(a2-1)x2+a2y2=a2(a2-1)
，得（2a2-1）x2-2a2x+2a2-a4=0
x1+x2=
2a2
2a2-1
，x1x2=
2a2-a4
2a2-1

∵直線AB：x-y-1=0過焦點F2（1，0），
∴△AF1F2的重心M（
x1
3
，
x1-1
3
），
△BF1F2的重心N（
x2
3
，
x2-1
3
），
因為原點O在以MN為直徑的圓內(nèi)，
所以
OM
•
ON
=
x1x2
9
+
(x1-1)(x2-1)
9
=
2x1x2-(x1+x2)+1
9

=
2×
2a2-a4
2a2-1
-
2a2
2a2-1
+1
9
＜0，
解得，a2＞1+
2
2
．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左頂點為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M，N（均不是長軸的頂點），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點F（-c，0）是長軸的一個四等分點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當(dāng)點D到兩焦點的距離之和為4，直線l⊥x軸時，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經(jīng)過點M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)m=-1時，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標(biāo)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點，且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)點M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點，若N為AB的中點，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案