Question

定義在[1，4]上的函數(shù)f（x）=x²-2bx+5
（Ⅰ）b=2時(shí)，求函數(shù)的最值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）是單調(diào)函數(shù)，求b的取值范圍．
（III）若函數(shù)f（x）不是單調(diào)函數(shù)，求b的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）b=2，時(shí)f（x）=x²-4x+5=（x-2）²+1
又x∈[1，4]，f（x）的對(duì)稱軸為x=2，
所以f（x）max=f（4）=5，f（x）_min=f（2）=1，
（Ⅱ）當(dāng)函數(shù)f（x）是單調(diào)函數(shù)時(shí)，有兩種情況：
①f（x）在[1，4]上是增函數(shù)時(shí)，對(duì)稱軸為x=b，
∴b≤1
②f（x）在[1，4]上是減函數(shù)時(shí)，對(duì)稱軸為x=b，
∴b≥4，
∴函數(shù)f（x）是單調(diào)函數(shù)，b的取值范圍是（-∞，1]∪[4，+∞）
（III）當(dāng)函數(shù)f（x）在[1，4]上不是單調(diào)函數(shù)，對(duì)稱軸為x=b，
∴1＜b＜4，
∴函數(shù)f（x）不是單調(diào)函數(shù)，b的取值范圍為（1，4）；