Question

已知函數(shù)，.
證明：（1）存在唯一，使；
（2）存在唯一，使，且對（1）中的.

Answer 1

（1）詳見解析；（2） 詳見解析.

試題分析：（1）當時，，函數(shù)在上為減函數(shù)，又，所以存在唯一，使.（2）考慮函數(shù)，令，則時，，
記，則 ，有（1）得，當時，，當時，.在上是增函數(shù)，又，從而當時，，所以在上無零點.在上是減函數(shù)，又，存在唯一的 ，使.所以存在唯一的使.因此存在唯一的，使.因為當時，，故與有相同的零點，所以存在唯一的，使.因，所以，即命題得證.
（1）當時，，函數(shù)在上為減函數(shù)，又，所以存在唯一，使.
（2）考慮函數(shù)，
令，則時，，
記，則 ，
有（1）得，當時，，當時，.
在上是增函數(shù)，又，從而當時，，所以在上無零點.
在上是減函數(shù)，又，存在唯一的 ，使.
所以存在唯一的使.
因此存在唯一的，使.
因為當時，，故與有相同的零點，所以存在唯一的，使.
因，所以