Question

已知圓C：（x-1）²+（y+2）²=9，斜率等于1的直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)．
（1）求弦AB為圓C直徑時的直線l的方程；
（2）試問原點(diǎn)O能否成為弦AB的中點(diǎn)？說明理由；
（3）若坐標(biāo)原點(diǎn)O在以AB為直徑的圓內(nèi)，求直線l在y軸上的截距范圍．

Answer 1

解：（1）由題可知：l過點(diǎn)C（1，-2），
∴直線l的方程為y+2=x-1，即x-y-3=0；
（2）原點(diǎn)O不可能成為弦AB的中點(diǎn)：理由為：
若原點(diǎn)O是弦AB的中點(diǎn)，則OC垂直平分弦AB，
此時直線OC的斜率為-1或-2，矛盾；
（3）可設(shè)直線l：y=x+b，
過點(diǎn)C（1，-2）與l垂直的直線的方程為y+2=-（x-1），即x+y+1=0，
由，解得：，即以AB為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為D（-，），
圓心C到直線l的距離d==，
而DA²=CA²-d²=9-，
以AB為直徑的圓D：（x+）²+（y-）²=9-，
點(diǎn)O在以AB為直徑的圓D內(nèi)，即（）²+（）²＜9-，
解得：-4＜b＜1，
則所求直線l在y軸上的截距范圍為（-4，1）．
分析：（1）由弦AB為圓C的直徑，得到直線l過圓心，得到C在直線l上，再由斜率為1，即可得到直線l的方程；
（2）原點(diǎn)O不可能成為弦AB的中點(diǎn)，假設(shè)原點(diǎn)O為弦AB的中點(diǎn)，得到OC垂直平分AB，可得出直線OC的斜率為-1或-2，與斜率為1矛盾，假設(shè)錯誤，故原點(diǎn)O不可能為弦AB的中點(diǎn)；
（3）由斜率為1設(shè)出直線l方程y=x+b，表示過C且與直線l垂直的直線方程，兩方程聯(lián)立，求出方程組的解，即為以AB為直徑的圓心坐標(biāo)D，再利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心C到直線l的距離d，利用垂徑定理及勾股定理表示出DA²，即為以AB為直徑圓的半徑平方，表示出圓D的方程，原點(diǎn)O在圓內(nèi)，得到圓心D到原點(diǎn)距離小于圓的半徑，列出關(guān)于b的不等式，求出不等式的解集得到b的范圍，即為直線l在y軸上截距的范圍．
點(diǎn)評：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識有：兩直線垂直時斜率滿足的關(guān)系，線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式，兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，垂徑定理，勾股定理，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，是一道綜合性較強(qiáng)的試題．熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．