Question

已知兩條直線l₁：y=m 和l₂：y=

8

2m+1

（m＞0），直線l₁與函數(shù)y=|log₂x|的圖象從左至右相交于點A，B，直線l₂與函數(shù)y=|log₂x|的圖象從左至右相交于C，D．記線段AC和BD在X軸上的投影長度分別為a 和b．當m變化時，

b

a

的最小值為

8

2

．

Answer 1

分析：由題意設A，B，C，D各點的橫坐標分別為x_A，x_B，x_C，x_D，依題意可求得為x_A，x_B，x_C，x_D的值，a=|x_A-x_C|，b=|x_B-x_D|，下面利用基本不等式可求最小值．

解答：解：設A，B，C，D各點的橫坐標分別為x_A，x_B，x_C，x_D，
則-log₂x_A=m，log₂x_B=m；-log₂x_C=

8

2m+1

，log₂x_D=

8

2m+1

；
∴x_A=2^-m，x_B=2^m，x_C=2-

8

2m+1

，x_D=2

8

2m+1

．
∴a=|x_A-x_C|，b=|x_B-x_D|，
∴

b

a

=

2m-2 8 2m+1

2-m-2- 8 2m+1

=2^m•2

8

2m+1

=2m+

8

2m+1

又m＞0，∴m+

8

2m+1

=

1

2

（2m+1）+

8

2m+1

-

1

2

≥2

1 2 ×8

-

1

2

=

7

2

，
當且僅當

1

2

(2m+1)=

8

2m+1

，即m=

3

2

時取“=”號，
∴

b

a

≥2

7

2

=8

2

，
故答案為：8

2

．

點評：本題考查對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用，理解投影的概念并能把問題轉化為基本不等式求最值是解決問題的關鍵，屬中檔題．