Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的各項都為正數(shù)，其前n項和為S_n，已知對任意n∈N^*，S_n是a_n²和a_n的等差中項．
（1）試求a₁，a₂的值；
（2）證明數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）設(shè)數(shù)列b_n=2ⁿ（n∈N^*），求數(shù)列{a_nb_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）依題意，2S_n=a_n²+a_n，當(dāng)n=1時，可求得a₁，繼而可求得a₂的值；
（2）2S_n=a_n²+a_n⇒2S_n-1=a_n-1²+a_n-1（n≥2），?整理可得a_n-a_n-1=1（n≥2），從而可知數(shù)列{a_n}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，于是可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）由a_nb_n=n•2ⁿ，利用錯位相減法可求得數(shù)列{a_nb_n}的前n項和T_n．

解答： （本題滿分12分）
解：（1）S_n是a_n²和a_n的等差中項，
∴2S_n=a_n²+a_n，
令n=1則2S₁=a₁²+a₁，解得a₁=1或0，
∵數(shù)列{a_n}的各項都為正數(shù)，∴a₁=1…（2分）
令n=2，則2S₂=a₂²+a₂，解得a₂=2或-1（舍去）．…（4分）
（2）∵2S_n=a_n²+a_n，
∴2S_n-1=a_n-1²+a_n-1（n≥2），?…（5分）
兩式相減：得2a_n=a_n²+a_n-a_n-1²-a_n-1（n≥2），
化簡得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0…（7分）
∵a_n+a_n-1≠0，
∴a_n-a_n-1=1（n≥2）．
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，…（8分）
∴a_n}=n（n∈N^*）…（9分）
（3）∵a_nb_n=n•2ⁿ，
∴T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ①
2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹②
①-②得：-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹…（11分）
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2…（12分）

點評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查遞推關(guān)系的應(yīng)用及等差關(guān)系關(guān)系的確定，這是重點也是難點，突出考查錯位相減法求和，屬于中檔題．