Question

如圖，在棱長為的正方體中，為線段上的點，且滿足
.
（Ⅰ）當時，求證：平面平面；
（Ⅱ）試證無論為何值，三棱錐的體積
恒為定值；
（Ⅲ）求異面直線與所成的角的余弦值.

Answer 1

18．解：
方法一、證明：（Ⅰ）∵正方體中，面，
又∴平面平面， ………………2分
∵時，為的中點，∴，
又∵平面平面，
∴平面，
又平面，∴平面平面．………4分
（Ⅱ）∵，為線段上的點，
∴三角形的面積為定值，即，
………………6分
又∵平面，∴點到平面的距離為定值，即， ………………8分
∴三棱錐的體積為定值，即．
也即無論為何值，三棱錐的體積恒為定值；………………………10分
（Ⅲ）∵由（Ⅰ）易知平面，
又平面，∴，             …………………………12分
即異面直線與所成的角為定值，從而其余弦值為．…………………13分
方法二、如圖，以點為坐標原點，建立如圖所示的坐標系．
（Ⅰ）當時，即點為線段的中點，則，又、
∴，，設(shè)平面的法向量為，……1分
則，即，令，解得，        …2分
又∵點為線段的中點，∴，∴平面，
∴平面的法向量為，           ……………3分
∵，
∴平面平面，           ………………………4分
（Ⅱ）略；
（Ⅲ）∵，∴，  …………………10分
又、、，
∴，，   ……………………………11分
∵   …………………………………12分
∴不管取值多少，都有，即異面直線與所成的角的余弦值為0.……13分

略