Question

10．已知f（x）=2x²-（2a-1）x-1；
（1）若a＜1，判斷f（x）在區(qū)間（$\frac{1}{4}$，+∞）的單調(diào)性并用定義證明；
（2）若f（x）在區(qū)間[-1，2]上不是單調(diào)函數(shù)，用集合表示實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）=2x²-（2a-1）x-1的圖象是開口朝上，且以直線x=$\frac{2a-1}{4}$為對稱軸的拋物線，若a＜1，則$\frac{2a-1}{4}$＜$\frac{1}{4}$，則f（x）在區(qū)間（$\frac{1}{4}$，+∞）上單調(diào)遞增，利用定義法，可得結(jié)論；
（2）若f（x）在區(qū)間[-1，2]上不是單調(diào)函數(shù)，則-1＜$\frac{2a-1}{4}$＜2，解得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2x²-（2a-1）x-1的圖象是開口朝上，且以直線x=$\frac{2a-1}{4}$為對稱軸的拋物線，
若a＜1，則$\frac{2a-1}{4}$＜$\frac{1}{4}$，則f（x）在區(qū)間（$\frac{1}{4}$，+∞）上單調(diào)遞增，理由如下：
任取$\frac{1}{4}$＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂＞$\frac{1}{2}$，2a-1-2（x₁+x₂）＜0，
則f（x₂）-f（x₁）=[2x₂²-（2a-1）x₂-1]-[2x₁²-（2a-1）x₁-1]=（x₁-x₂）[2a-1-2（x₁+x₂）]＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），
故f（x）在區(qū)間（$\frac{1}{4}$，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）若f（x）在區(qū)間[-1，2]上不是單調(diào)函數(shù)，
則-1＜$\frac{2a-1}{4}$＜2，
解得：$-\frac{3}{2}$＜a＜$\frac{9}{2}$，
故實數(shù)a的取值范圍為{a|$-\frac{3}{2}$＜a＜$\frac{9}{2}$}

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．