Question

已知偶函數(shù)y=f（x）（x∈R）在區(qū)間[-1，0]上單調(diào)遞增，且滿足f（1-x）+f（1+x）=0，給出下列判斷：
①f（5）=0；
②f（x）在[1.2]上是減函數(shù)；
③f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱；
④函數(shù)y=f（x）在x=0處取得最大值；
⑤函數(shù)y=f（x）沒有最小值（x∈R）．
其中正確論斷的序號(hào)是（ ）
A．①③④
B．②④⑤
C．①②④
D．③④⑤

Answer 1

【答案】分析：分別利用函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性和周期性進(jìn)行推理和判斷，由f（1-x）+f（1+x）=0得到f（1+x）=-f（1-x）=-f（x-1），得到函數(shù)的周期為2．
解答：解：由f（1-x）+f（1+x）=0得到f（1+x）=-f（1-x）=-f（x-1），所以f（2+x）=f（x），所以函數(shù)的周期是2．
當(dāng)x=0時(shí)，f（1）+f（1）=0，所以f（1）=0，因?yàn)閒（5）=f（4+1）=f（1）=0，所以①正確．
因?yàn)閥=f（x）（x∈R）在區(qū)間[-1，0]上單調(diào)遞增，周期為2，所以函數(shù)在在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，所以②錯(cuò)誤．
因?yàn)閥=f（x）是偶函數(shù)，所以f（2+x）=f（x）=f（-x），所以對(duì)稱軸為x=1，所以f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，所以③正確．
因?yàn)榕己瘮?shù)y=f（x）（x∈R）在區(qū)間[-1，0]上單調(diào)遞增，則在[0，1]上單調(diào)遞減，且周期為2，所以y=f（x）在x=0處取得最大值，在x=-1時(shí)取得最小值．所以④正確，⑤錯(cuò)誤．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性和周期性的綜合應(yīng)用，要求熟練掌握相應(yīng)的性質(zhì)．