Question

已知曲線C的參數(shù)方程為

x=4cosφ y=3sinφ

，（φ為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρ=

5

2 sin(θ+45°)

．
（Ⅰ）把直線l的極坐標方程化為普通方程；
（Ⅱ）設(shè)點P是曲線C上的點，求點P到直線l的距離的取值范圍．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程

專題：坐標系和參數(shù)方程

分析：（I）由直線l的極坐標方程為ρ=

5

2 sin(θ+45°)

，利用兩角和差的正弦公式展開為

2

ρ(

2

2

sinθ+

2

2

cosθ)=5，再利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出．
（II）利用點到直線的距離公式和兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（I）由直線l的極坐標方程為ρ=

5

2 sin(θ+45°)

，化為

2

ρ(

2

2

sinθ+

2

2

cosθ)=5，
即ρsinθ+ρcosθ=5，
∴直線l的普通方程為x+y=5．
（II）由點到直線的距離公式可得點P（4cosφ，3sinφ）到直線l的距離：
d=

|4cosφ+3sinφ-5|

2

=

5|sin(φ+α)-1|

2

，
∵-1≤sin（φ+α）≤1，∴0≤d≤5

2

．
∴點P到直線l的距離的取值范圍是[0，5

2

]．

點評：本題考查了極坐標與直角坐標的互化、點到直線的距離公式和兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性、絕對值的意義，屬于中檔題．