Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和Sn=2-a_n，數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b₃+b₇=18．且b_n+1+b_n-1=2b_n（n≥2）．
（I）數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式．
（II）若b_n=a_n•c_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

解由題意可得S_n=2-a_n，①
當(dāng)n≥2時，S_n-1=2-a_n-1，②
①-②得，a_n=S_n-S_n-1=a_n-1-a_n，即
又a₁=S₁=2-a₁，可得a₁=1，易知a_n-1≠0，
故數(shù)列{a_n}是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，所以
由b_n+1+b_n-1=2b_n可知數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，
則，所以d==2，
故b_n=b₁+（n-1）d=2n-1
（II）由（I）結(jié)合題意可得，=（2n-1）•2^n-1．
則+…+（2n-1）×2^n-1 ③
兩邊同乘以2得，+…+（2n-1）×2ⁿ ④
③-④得，-T_n=1+2（2¹+2²+2³+…+2^n-1）-（2n-1）2ⁿ
整理得，-T_n=1+=-（2n-3）•2ⁿ-3
故
分析：（I）根據(jù)由Sn求a_n的方法可求{a_n}的通項公式，由題意可得{b_n}為等差數(shù)列，由條件求其公差d，可得結(jié)果；
（II）由（I）結(jié)合題意可得，=（2n-1）•2^n-1．，下面可由錯位相減法求和，得到T_n．
點評：本題為數(shù)列的通項公式和求和的問題，涉及等比數(shù)列的判定和錯位相減法求和，屬中檔題．