已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=2-an,數(shù)列{bn}滿足b1=1,b3+b7=18.且bn+1+bn-1=2bn(n≥2).
(I)數(shù)列{an}和{bn}的通項公式.
(II)若bn=an•cn,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.
解由題意可得S
n=2-a
n,①
當(dāng)n≥2時,S
n-1=2-a
n-1,②
①-②得,a
n=S
n-S
n-1=a
n-1-a
n,即
又a
1=S
1=2-a
1,可得a
1=1,易知a
n-1≠0,
故數(shù)列{a
n}是以1為首項,
為公比的等比數(shù)列,所以
由b
n+1+b
n-1=2b
n可知數(shù)列{b
n}為等差數(shù)列,設(shè)其公差為d,
則
,所以d=
=2,
故b
n=b
1+(n-1)d=2n-1
(II)由(I)結(jié)合題意可得,
=(2n-1)•2
n-1.
則
+…+(2n-1)×2
n-1 ③
兩邊同乘以2得,
+…+(2n-1)×2
n ④
③-④得,-T
n=1+2(2
1+2
2+2
3+…+2
n-1)-(2n-1)2
n整理得,-T
n=1+
=-(2n-3)•2
n-3
故
分析:(I)根據(jù)由Sn求a
n的方法可求{a
n}的通項公式,由題意可得{b
n}為等差數(shù)列,由條件求其公差d,可得結(jié)果;
(II)由(I)結(jié)合題意可得,
=(2n-1)•2
n-1.,下面可由錯位相減法求和,得到T
n.
點評:本題為數(shù)列的通項公式和求和的問題,涉及等比數(shù)列的判定和錯位相減法求和,屬中檔題.