Question

【題目】如圖，在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，點(diǎn)P是側(cè)棱C1C的中點(diǎn)．

（1）求證：AC1∥平面PBD；

（2）求證：BD⊥A1P．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）連接AC交BD于O點(diǎn)，連接OP，證出AC1∥OP，再由線(xiàn)面平行的判定定理即可證出.

（2）首先由線(xiàn)面垂直的判定定理證出BD⊥面AC1，再由線(xiàn)面垂直的定義即可證出.

（1）

連接AC交BD于O點(diǎn)，連接OP，

因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD是正方形，對(duì)角線(xiàn)AC交BD于點(diǎn)O，

所以O點(diǎn)是AC的中點(diǎn)，所以AO=OC．

又因?yàn)辄c(diǎn)P是側(cè)棱C1C的中點(diǎn)，所以CP=PC1，

在△ACC1中，，所以AC1∥OP，

又因?yàn)?/span>OP面PBD，AC1面PBD，

所以AC1∥平面PBD．

（2）連接A1C1．因?yàn)?/span>ABCD–A1B1C1D1為直四棱柱，

所以側(cè)棱C1C垂直于底面ABCD，

又BD平面ABCD，所以CC1⊥BD，

因?yàn)榈酌?/span>ABCD是菱形，所以AC⊥BD，

又AC∩CC1=C，AC面AC1，CC1面AC1，所以BD⊥面AC1，

又因?yàn)?/span>P∈CC1，CC1面ACC1A1，所以P∈面ACC1A1，

因?yàn)?/span>A1∈面ACC1A1，所以A1P面AC1，所以BD⊥A1P．