Question

(本小題滿分12分) 已知兩點(diǎn)，直線，在直線上求一點(diǎn).

（1）使最��；  （2）使最大.  

 

Answer 1

【答案】

（1）直線A₁B與的交點(diǎn)可求得為,由平面幾何知識(shí)可知最小.（2）直線AB與的交點(diǎn)可求得為，它使最大.

【解析】

試題分析：（1）要使得點(diǎn)P到點(diǎn)A,B的距離和最小，則利用兩邊之和大于等于第三邊，結(jié)合對(duì)稱性，做一個(gè)點(diǎn)A，（或者B）的關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)A’（,或者B’），然后連接A’B與直線相交的交點(diǎn)即為所求的最小值的點(diǎn)P的位置。通過等價(jià)轉(zhuǎn)化得到結(jié)論。

（2）而要求解的最大值，則利用兩點(diǎn)在直線的同側(cè)，可以連線，延長與直線相交，結(jié)合兩邊之差小于等于第三邊，當(dāng)三點(diǎn)共線的時(shí)候滿足最大值得到結(jié)論。

解：（1）可判斷A、B在直線l的同側(cè)，設(shè)A點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（x₁，y₁）.

則有﹍﹍﹍﹍﹍2分     

解得  ﹍﹍﹍﹍4分

由兩點(diǎn)式求得直線A₁B的方程為，             ﹍﹍﹍﹍5分

直線A₁B與的交點(diǎn)可求得為                      ﹍﹍﹍﹍6分

由平面幾何知識(shí)可知最小.

（2）由兩點(diǎn)式求得直線AB的方程，即.﹍﹍﹍﹍8分

直線AB與的交點(diǎn)可求得為，它使最大.         ﹍﹍﹍﹍12分

考點(diǎn)：本試題主要是考查了動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離和或者差的最值問題。利用三點(diǎn)共線來得到。同時(shí)要結(jié)合對(duì)稱性的運(yùn)用。

點(diǎn)評(píng)：解決該類最值問題，一般要轉(zhuǎn)換為三點(diǎn)共線的特殊情況來得到。