Question

（本題14分）對于函數(shù)，若，則稱為的“不動點”，若，則稱為的“穩(wěn)定點”，函數(shù)的“不動點”和“穩(wěn)定點”的集合分別記為A和B，即．

（1）設，求集合A和B；

（2）若，，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若，求證：．

 

Answer 1

（1），；（2）；

【解析】

試題分析：（1）緊扣題中給出的“不動點”和“穩(wěn)定點”的定義，準確列出關于的方程，求得集合A和B；（2）利用“不動點”和“穩(wěn)定點”的定義，分別討論參數(shù)和兩種情況且注意分母不能為0，求出集和，再由，確定的取值范圍；（3）利用“不動點”和“穩(wěn)定點”的定義，分別討論參數(shù)和兩種情況，求出集和，證得結論．本題屬于創(chuàng)新型問題，在求解時關鍵在于準確把握新定義，正確應用新定義和相關知識求解所給的問題，要在理解新定義上下功夫，在應用新定義解決所給問題上做文章．具體到本題中，函數(shù)的“不動點”本質就是方程的解，函數(shù)的“穩(wěn)定點”本質就是方程的解，只要能牢牢把握這一本質，就能解好本題目．

試題解析：（1）由，得，解得； 1分

由，得，解得. 2分

所以集合，. 4分

（2）①若，則，符合題意； 5分

②若，由題意有：，

注意：，驗證得：不是方程的根；

∴； 6分

，

注意：且，

驗證得：和都不是方程的根，

∴； 8分

∴；∵，∴，∴方程有解，

∴且； 9分

綜上，實數(shù)的取值范圍是． 10分

（3）①若，，結論成立； 11分

②若，由得，則 12分

∵

考慮方程：，∵，∴方程無解．

∴； 13分

∴． 14分

考點：①含參數(shù)的一元二次方程解法；②集合與集合的關系．