Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a，它的各個頂點都在球O的球面上，問球O的表面積．
（1） 如果球O和這個正方體的六個面都相切，則有S=

 

．
（2）如果球O和這個正方體的各條棱都相切，則有S=

 

．

Answer 1

分析：（1） 如果球O和這個正方體的六個面都相切，那么球的直徑就是正方體的棱長，然后直接求出球的表面積．
（2）如果球O和這個正方體的各條棱都相切，推出球的直徑就是正方體的面對角線的長，求出半徑，即可求出球的表面積．

解答：解：（1） 如果球O和這個正方體的六個面都相切，那么球的直徑就是正方體的棱長，所以球的半徑為：

a

2

，球的表面積：4π(

a

2

)2=πa2
（2）如果球O和這個正方體的各條棱都相切，則球的直徑就是正方體的面對角線的長，球的半徑為：

2 a

2

，球的表面積：4π(

2 a

2

)2=2πa²
故答案為：（1）πa²；（2）2πa²

點評：本題考查球的外接體，球的表面積的計算，正確理解球與正方體的面相切，與正方體的棱相切，得到直徑與棱長或面對角線的關(guān)系才能正確快速解得本題，是基礎(chǔ)題．