Question

已知數(shù)列{a_n}，前n項和為S_n，若S_n+a_n=n²+3n-1，n∈N^*．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）是否存在常數(shù)p，q，使得數(shù)列{a_n+pn+q}為等比數(shù)列，若存在，求出數(shù)列{a_n}的通項公式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵S_n+a_n=n²+3n-1，∴s₁+a₁=3，∴．
n=2時，（a₁+a₂）+a₂=2²+3×2-1，∴，∴．
n=3時，（a₁+a₂+a₃）+a₃=3²+3×3-1，∴，∴．
n=4時，（a₁+a₂+a₃+a₄）+a₄=4²+3×4-1，∴，∴．
（2）∵S_n+a_n=n²+3n-1，①
∴S_n+1+a_n+1=（n+1）²+3（n+1）-1，②
②-①得S_n+1-S_n+a_n+1-a_n=2n+4，
∴2a_n+1-a_n=2n+4，∴．
設(shè)．
∴．
令．∴∴
∴存在常數(shù)p=-2，q=0．使{a_n-2n}構(gòu)成等比數(shù)列，首項，公比為，
∴，∴．
分析：（1）結(jié)合已知S_n+a_n=n²+3n-1可把n=1，2，3，4，代入到遞推公式中進行求解即可
（2）由已知S_n+a_n=n²+3n-1可得，S_n+1+a_n+1=（n+1）²+3（n+1）-1，考慮兩式相減可得．結(jié)合已知數(shù)列為等比數(shù)列可構(gòu)造，利用待定系數(shù)法可求p，q，從而可求數(shù)列的通項公式
點評：本題主要考查了由數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的項，及由數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項公式，而等比數(shù)列的定義是解決等比數(shù)列最基本的方法．