Question

已知點，橢圓：的離心率為，是橢圓的焦點，直線的斜率為，為坐標原點.

（1）求的方程；

（2）設(shè)過點的直線與相交于兩點，當的面積最大時，求的方程.

 

Answer 1

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）由，結(jié)合條件，可得，再由離心率，，

故，即橢圓的方程為；（2）根據(jù)題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程并消去，可得，故若設(shè)設(shè)，則 ，則，坐標原點到直線的距離為，因此，從而令，則 ，即問題等價于求關(guān)于的函數(shù)的最大值，根據(jù)基本不等式可知，當且僅當，時，等號成立，∴，故故當， 即，時的面積最大，從而直線的方程為.

試題解析：（1）設(shè)，由題意，∴，又∵離心率，∴，

∴，過橢圓的方程為； . 4分

（2）由題意知，直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，方程為，

聯(lián)立直線與橢圓方程：，化簡得：，

∵，∴，

設(shè)，則 ，

∴，

∴坐標原點到直線的距離為，，

令，則 ，

∵，當且僅當，時，等號成立，∴，

故當， 即，時的面積最大，

從而直線的方程為.. . 13分

考點：1.橢圓的標準方程；2.直線與橢圓相交綜合題.