Question

f（x）=|x-a|-lnx（a＞0）．
（1）若a=1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間及f（x）的最小值；
（2）若a＞0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）試比較

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

與

(n-1)(2n+1)

2(n+1)

的大小．（n∈N^*且n≥2），并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）先求出導(dǎo)函數(shù)fˊ（x），解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；
（2）求出函數(shù)的定義域；求出導(dǎo)函數(shù)，從導(dǎo)函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)；導(dǎo)函數(shù)根的大小，進(jìn)行分類討論；判斷出導(dǎo)函數(shù)的符號；利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號的關(guān)系求出單調(diào)性．
（3）將要證的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為g（x）＞0在區(qū)間（1，2）上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出g（x）的最小值，只要最小值大于0即可．

解答：解：（1）a=1，f（x）=|x-1|-lnx
當(dāng)x≥1時(shí)，f（x）=x-1-lnx，f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

≥0
∴f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是遞增的．
（2）x＜1時(shí)，f（x）=x-1-lnx，f′（x）=1-

1

x

＜0
∴f（x）在區(qū)間（0，1）減的．
故a=1時(shí)f（x）在[1，+∞）上是遞增的，減區(qū)間為（0，1），f（x）_min=f（1）=0
a≥1  x＞a f（　x�。�=x-a-lnx，f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

≥0
f（x）在[a，+∞）上是遞增的，
0＜x＜a，f（x）=-x+a-lnx，f′（x）=-1-

1

x

＜0
∴f（x）在   （0，a）遞減函數(shù)，
0＜a＜1，x≥af（x）=x-a-lnx
f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

，x＞1，f′（x）＞0，a＜x＜1，f′（x）＜0
f（x）在[1，+∞）遞增函數(shù)f（x）在[a，1）遞減函數(shù)
0＜x＜a 時(shí) f（x）=a-x-lnx，f′（x）=-1-

1

x

＜0
∴f（x） 在  （0，a）遞減函數(shù)
f（x）在[1，+∞）遞減函數(shù)，（0，1）遞減函數(shù)．
a≥1 時(shí) f（x）在[a，+∞），（0，a）增函數(shù)．
0＜a＜1 時(shí) f（x）在[1，+∞），（0，1）增函數(shù)．
（3）當(dāng)a=1  x＞1 時(shí) x-1-lnx＞0 

lnx

x

＜ 1-

1

x

∴

ln22

22

+

ln32

32

+ …+

lnn2

n2

＜1-

1

22

+1-

1

32

+…+1-

2

n2

=n-1-（

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

）＜n-1-（

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

）=n-1-（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

）=n-1-（

1

2

-

1

n+1

）=

(n-1)(2n+1)

2(n+1)

點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性：導(dǎo)函數(shù)為正函數(shù)遞增；導(dǎo)函數(shù)為負(fù)，函數(shù)遞減．考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，函數(shù)的最值，不等式的證明，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查計(jì)算能力和分析問題的能力，以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題