Question

函數(shù)f（x）=

a

x

+lnx-1（a是常數(shù)），
（1）討論f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當a=1時，方程f（x）=m在x∈[

1

e

，e]上有兩解，求m的取值范圍；（e≈2.71828）

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）先求出函數(shù)的導數(shù)，分別討論a的范圍，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）把a=1代入函數(shù)，求出f（x）在[

1

e

，e]的極值點，從而求出m的范圍．

解答： 解：（1）f′（x）=

x-a

x2

．
當a≤0時，在定義域（0，+∞）上，f′（x）＞0恒成立，即f（x）單調(diào)增區(qū)間為 （0，+∞）；
當a＞0時，在區(qū)間（0，a）上，f′（x）＜0，即f（x）單調(diào)減區(qū)間為 （0，a）；
在（a，+∞）上，f′（x）＞0，即f（x）單調(diào)增區(qū)間為 （a，+∞）．
（2）當a=1時，f′（x）=

x-1

x2

，其中x∈[

1

e

，e]，
而x∈[

1

e

，1）時，f′（x）＜0；x∈（1，e]時，f′（x）＞0，
∴x=1是f（x）在[

1

e

，e]上唯一的極小值點，
∴[f（x）_min=f（1）=0]． 又∵f（

1

e

）=e-2，f（e）=

1

e

，
f（

1

e

）-f（e）=e-2-

1

e

=

e(e-2)-1

e

＞0，
綜上，當a=1時，當方程f（x）=m在x∈[

1

e

，e]上有兩解，m的取值范圍為0＜m≤

1

e

．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問題，導數(shù)的應用，考查分類討論，是一道中檔題．