Question

（本小題滿分13分）

已知R，函數(shù)．

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：當時，．

 

Answer 1

【答案】

（1）當時，恒成立，此時的單調(diào)區(qū)間為 

當時，，此時的單調(diào)遞增區(qū)間為和，

單調(diào)遞減區(qū)間為

（2）構(gòu)造函數(shù)，利用放縮法的思想來求證不等式的成立。

【解析】

試題分析：解：（1）由題意得 ………2分

當時，恒成立，此時的單調(diào)區(qū)間為 ……4分

當時，，

此時的單調(diào)遞增區(qū)間為和，

單調(diào)遞減區(qū)間為 ……………6分

(2)證明：由于，所以當時，

 …………8分

當時，……10分

設(shè)，則，

于是隨的變化情況如下表：

	0				1
			0
	1	減	極小值	增	1

所以， …………12分

所以，當時，，

故 …………13分

（2）另解：由于，所以當時，．

令，則．

當時，在上遞增， ………8分

當時，，在上遞減，在上遞增，所以．

故當時， ………10分

當時，．

設(shè)，則，

③當時，在上遞減， ……11分

④當時，在上遞減，在上遞增，所以

．

故當時，．

故 …………13分

考點：本試題考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中點運用。

點評：對于含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解，這一點是高考的重點，同時對于參數(shù)的分類討論思想，這是解決這類問題的難點，而分類的標準一般要考慮到函數(shù)的定義域?qū)τ趨��?shù)的制約，進而分析得到。而不等式的恒成立問題，常常轉(zhuǎn)化為分離參數(shù) 思想，求解函數(shù)的最值來完成。屬于難度題。