【題目】如圖所示，在棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，PA=AD=DC=2，AB=4且AB∥CD，∠BAD=90°.

（1）求證：BC⊥PC；

（2）求PB與平面PAC所成角的正弦值.

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題（1）連接，,取的中點(diǎn)，連接，，所以為等腰直角三角形，故，而，所以平面，所以.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量和平面的法向量，計(jì)算得線面角的正弦值為.

試題解析：

（1）在直角梯形中，，

取中點(diǎn)，連接，

則四邊形為正方形，

∴,

又，

則為等腰直角三角形，

∴，

又∵平面，平面，

∴，

由得平面，

∵平面，所以.

（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，

則，.

由（1）知即為平面的一個(gè)法向量，

，

即與平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．

（I）求曲線，的極坐標(biāo)方程；

（II）在（I）的條件下，若射線與曲線，分別交于兩點(diǎn)（除極點(diǎn)外），且有定點(diǎn)，求面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面ABCD，底面ABCD為梯形，，，且．

（1）在PD上是否存在一點(diǎn)F，使得平面PAB，若存在，找出F的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由；

（2）求二面角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某廠為了評(píng)估某種零件生產(chǎn)過程的情況,制定如下規(guī)則:若零件的尺寸在,則該零件的質(zhì)量為優(yōu)秀,生產(chǎn)過程正常;若零件的尺寸在且不在,則該零件的質(zhì)量為良好,生產(chǎn)過程正常;若零件的尺寸在且不在,則該零件的質(zhì)量為合格,生產(chǎn)過程正常;若零件的尺寸不在,則該零件不合格,同時(shí)認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查,(其中為樣本平均數(shù),為樣本標(biāo)準(zhǔn)差)下面是檢驗(yàn)員從某一天生產(chǎn)的一批零件中隨機(jī)抽取的20個(gè)零件尺寸的莖葉圖(單位:cm)經(jīng)計(jì)算得,其中為抽取的第個(gè)零件的尺寸,.

（1）利用該樣本數(shù)據(jù)判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查;

（2）利用該樣本,從質(zhì)量良好的零件中任意抽取兩個(gè),求抽取的兩個(gè)零件的尺寸均超過的概率;

（3）剔除該樣本中不在的數(shù)據(jù),求剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差(精確到0.01)

參考數(shù)據(jù):,,,

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求曲線在處的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，求的極值點(diǎn)；

（3）若為R上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知.

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)于，恒成立；

（3）若存在，使得當(dāng)時(shí)，恒有成立，試求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求滿足條件的最小正整數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，試求函數(shù)圖像過點(diǎn)的切線方程；

（2）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的方程有唯一實(shí)數(shù)解，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè).

（Ⅰ）令，求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，直線與的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，且，求證：.

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