【題目】設(shè)n≥2,n∈N* , 有序數(shù)組(a1 , a2 , …,an)經(jīng)m次變換后得到數(shù)組(bm , 1 , bm , 2 , …,bm , n),其中b1 , i=ai+ai+1 , bm , i=bm﹣1 , i+bm﹣1 , i+1(i=1,2,…,n),an+1=a1 , bm﹣1 , n+1=bm﹣1 , 1(m≥2).例如:有序數(shù)組(1,2,3)經(jīng)1次變換后得到數(shù)組(1+2,2+3,3+1),即(3,5,4);經(jīng)第2次變換后得到數(shù)組(8,9,7).
(1)若ai=i(i=1,2,…,n),求b3 , 5的值;
(2)求證:bm , i= ai+jCmj , 其中i=1,2,…,n. (注:i+j=kn+t時,k∈N* , i=1,2,…,n,則ai+j=a1)
【答案】
(1)解:依題意(1,2,3,4,5,6,7,8,…,n),
第一次變換為(3,5,7,9,11,13,15,…,n+1),
第二次變換為(8,12,16,20,24,28,…,n+4),
第三次變換為(20,28,36,44,52,…,n+12),
∴b3,5=52
(2)解:用數(shù)學(xué)歸納法證明:對m∈N*,bm,i= ai+jCmj,其中i=1,2,…,n,
(i)當(dāng)m=1時,b1,i= ai+jC1j,其中i=1,2,…,n,結(jié)論成立,
(ii)假設(shè)m=k時,k∈N*時,bk,i= ai+jCkj,其中i=1,2,…,n,
則m=k+1時,bk+1,i=bk,i+bk,i+1= ai+jCkj+ ai+j+1Ckj= ai+jCkj+ ai+j+1Ckj﹣1,
=aiCk0+ ai+j(Ckj+Ckj﹣1)+ai+k+1Ckk,
=aiCk+10+ ai+jCk+1j+ai+k+1Ck+1k+1,
= ai+jCk+1j,
所以結(jié)論對m=k+1時也成立,
由(i)(ii)可知,對m∈N*,bm,i= ai+jCmj,其中i=1,2,…,n成立
【解析】(1)根據(jù)新定義,分別進(jìn)行1次,2次,3次變化,即可求出答案,(2)利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知美國蘋果公司生產(chǎn)某款iphone手機(jī)的年固定成本為40萬美元,每生產(chǎn)1只還需另投入16美元.設(shè)蘋果公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款iphone手機(jī)x萬只并全部銷售完,每萬只的銷售收入為R(x)萬美元,且R(x)=
(1)寫出年利潤W(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬只)的函數(shù)解析式;
(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬只時,蘋果公司在該款手機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大?并求出最大利潤.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足 = .
(Ⅰ)求角A的大;
(Ⅱ)若a=2 ,求△ABC面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓,點,直線.
(1)求與圓相切,且與直線垂直的直線方程;
(2)在直線上(為坐標(biāo)原點),存在定點(不同于點),滿足:對于圓上任一點,都有為一常數(shù),試求所有滿足條件的點的坐標(biāo).
【答案】(1);(2)答案見解析.
【解析】試題分析:
(1)設(shè)所求直線方程為,利用圓心到直線的距離等于半徑可得關(guān)于b的方程,解方程可得,則所求直線方程為
(2)方法1:假設(shè)存在這樣的點,由題意可得,則,然后證明為常數(shù)為即可.
方法2:假設(shè)存在這樣的點,使得為常數(shù),則,據(jù)此得到關(guān)于的方程組,求解方程組可得存在點對于圓上任一點,都有為常數(shù).
試題解析:
(1)設(shè)所求直線方程為,即,
∵直線與圓相切,∴,得,
∴所求直線方程為
(2)方法1:假設(shè)存在這樣的點,
當(dāng)為圓與軸左交點時,;
當(dāng)為圓與軸右交點時,,
依題意,,解得,(舍去),或.
下面證明點對于圓上任一點,都有為一常數(shù).
設(shè),則,
∴ ,
從而為常數(shù).
方法2:假設(shè)存在這樣的點,使得為常數(shù),則,
∴,將代入得,
,即
對恒成立,
∴,解得或(舍去),
所以存在點對于圓上任一點,都有為常數(shù).
點睛:求定值問題常見的方法有兩種:
(1)從特殊入手,求出定值,再證明這個值與變量無關(guān).
(2)直接推理、計算,并在計算推理的過程中消去變量,從而得到定值.
【題型】解答題
【結(jié)束】
22
【題目】已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,其中為常數(shù).
(1)當(dāng)時,求的最大值,并推斷方程是否有實數(shù)解;
(2)若在區(qū)間上的最大值為-3,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知點為直線上一點,過點作的垂線與以為直徑的圓相交于,兩點.
(1)若,求圓的方程;
(2)求證:點始終在某定圓上.
(3)是否存在一定點(異于點),使得為常數(shù)?若存在,求出定點的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某機(jī)械廠要將長,寬的長方形鐵皮進(jìn)行裁剪.已知點為的中點,點在邊上,裁剪時先將四邊形沿直線翻折到處(點分別落在直線下方點處,交邊于點),再沿直線裁剪.
(1)當(dāng)時,試判斷四邊形的形狀,并求其面積;
(2)若使裁剪得到的四邊形面積最大,請給出裁剪方案,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=2x﹣a,g(x)=x+2.
(1)當(dāng)a=1時,求不等式f(x)+f(﹣x)≤g(x)的解集;
(2)求證: 中至少有一個不小于 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓E: + =1(a>b>0)的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的3個頂點,直線l:y=﹣x+3與橢圓E有且只有一個公共點T.
(Ⅰ)求橢圓E的方程及點T的坐標(biāo);
(Ⅱ)設(shè)O是坐標(biāo)原點,直線l′平行于OT,與橢圓E交于不同的兩點A、B,且與直線l交于點P.證明:存在常數(shù)λ,使得|PT|2=λ|PA||PB|,并求λ的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點O為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2﹣2ρcosθ﹣4=0
(1)若直線l與曲線C沒有公共點,求m的取值范圍;
(2)若m=0,求直線l被曲線C截得的弦長.
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