Question

已知關(guān)于x的函數(shù)f（x）=2ax²+2x-3-a，g（x）=b（x-1），其中a，b為實(shí)數(shù)．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，若對(duì)任意的x∈[2，10]，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求b的取值范圍；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]有零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）本題考查的是函數(shù)的最值問(wèn)題與恒成立結(jié)合的綜合類(lèi)問(wèn)題，在解答時(shí)，應(yīng)先將不等式f（x）≥g（x）恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=

2x2+2x-4

x-1

在區(qū)間[2，10]上的最小值，然后結(jié)合恒成立問(wèn)題的特點(diǎn)即可獲得問(wèn)題的解答．
（2）由函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]有零點(diǎn)，得函數(shù)f（x）=2ax²+2x-3-a的圖象在[-1，1]區(qū)間上與x軸有交點(diǎn)，作出函數(shù)f（x）=2ax²+2x-3-a的圖象，利用其圖象必過(guò)兩定點(diǎn)．結(jié)合圖象，得只須f（1）≥0即可，從而得出a的取值范圍．

解答：解：（1）由題意可知：當(dāng)a=1時(shí)，不等式f（x）≥g（x）恒成立對(duì)任意x∈[2，10]恒成立，
即2x²+2x-4≥b（x-1）對(duì)任意x∈[2，10]恒成立，
也即：b≤

2x2+2x-4

x-1

，設(shè)x-1=t，則b≤2t+

6

t

，t∈[1，9]
只需要求函數(shù)y=2t+

6

t

在區(qū)間[1，9]上的最小值，
∵y=2t+

6

t

≥2

12

，當(dāng)且僅當(dāng)t=

3

時(shí)取等號(hào)
∴y_min=4

3

，
∴b的取值范圍是：b≤4

3

．
（2）由函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[-1，1]有零點(diǎn)，
得函數(shù)f（x）=2ax²+2x-3-a的圖象在[-1，1]區(qū)間上與x軸有交點(diǎn)，
作出函數(shù)f（x）=2ax²+2x-3-a的圖象，
其必過(guò)A（-

2

2

，-

2

-3），B（

2

2

，

2

-3）兩點(diǎn)．如圖，
結(jié)合圖象，得只須f（1）≥0即可，
即2a×1²+2-3-a≥0⇒a≥1．
∴a的取值范圍[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是函數(shù)的最值問(wèn)題與恒成立結(jié)合的綜合類(lèi)問(wèn)題，在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了恒成立的思想、二次函數(shù)求最值的方法和問(wèn)題轉(zhuǎn)化的能力．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．