已知如圖，A、B是橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線x=t（-2＜t＜2）交橢圓于M、N兩點(diǎn)，經(jīng)過A、M、N的圓的圓心為C1，經(jīng)過B、M、N的圓的圓心為C2．
（1）求證|C1C2|為定值；
（2）求圓C1與圓C2的面積之和的取值范圍．

【答案】分析：（1）根據(jù)橢圓方程可求得A，B的坐標(biāo)，把直線方程與橢圓方程聯(lián)立求得M，N的坐標(biāo)，設(shè)C1（x1，0），C2（x2，0），根據(jù)半徑相等建立等式求得x1和x2的表達(dá)式，進(jìn)而求得|C1C2|=x2-x1結(jié)果為常數(shù)．原式得證．
（2）依題意可分別表示出兩個圓的半徑，進(jìn)而根據(jù)圓的面積公式求得S，進(jìn)而二次函數(shù)的性質(zhì)求得答案．
解答：解：（1）由題設(shè)A（-2，0），B（2，0），
由解出．
設(shè)C1（x1，0），C2（x2，0），由解出．
同理，解出，（定值）．
（2）兩圓半徑分別為及，
兩圓面積和，
因?yàn)?2＜t＜2，所以0≤t2＜4，所以S的取值范圍是．
點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的應(yīng)用．涉及了橢圓與圓的位置關(guān)系，圓的面積公式，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離公式．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•浦東新區(qū)二模）（1）設(shè)橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1與雙曲線C2：9x2-
9y2
8
=1有相同的焦點(diǎn)F1、F2，M是橢圓C1與雙曲線C2的公共點(diǎn)，且△MF1F2的周長為6，求橢圓C1的方程；
我們把具有公共焦點(diǎn)、公共對稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”．
（2）如圖，已知“盾圓D”的方程為y2=
4x            (0≤x≤3)
-12(x-4)  (3＜x≤4)
．設(shè)“盾圓D”上的任意一點(diǎn)M到F（1，0）的距離為d1，M到直線l：x=3的距離為d2，求證：d1+d2為定值； 
（3）由拋物線弧E1：y2=4x（0≤x≤
2
3
）與第（1）小題橢圓弧E2：
x2
a2
+
y2
b2
=1（
2
3
≤x≤a）所合成的封閉曲線為“盾圓E”．設(shè)過點(diǎn)F（1，0）的直線與“盾圓E”交于A、B兩點(diǎn)，|FA|=r1，|FB|=r2且∠AFx=α（0≤α≤π），試用cosα表示r1；并求
r1
r2
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，D，E是橢圓的兩個頂點(diǎn)，橢圓的離心率e=
3
2
，S△DEF2=1-
3
2
．若點(diǎn)M（x0，y0）在橢圓C上，則點(diǎn)N（
x0
a
，
y0
b
）稱為點(diǎn)M的一個“橢點(diǎn)”．直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)的“橢點(diǎn)”分別為P，Q，已知以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）△AOB的面積是否為定值？若為定值，試求出該定值；若不為定值，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•懷化二模）如圖展示了一個由區(qū)間（0，k）（其中k為一正實(shí)數(shù)）到實(shí)數(shù)集R上的映射過程：區(qū)間（0，k）中的實(shí)數(shù)m對應(yīng)線段AB上的點(diǎn)M，如圖1；將線段AB圍成一個離心率為
3
2
的橢圓，使兩端點(diǎn)A、B恰好重合于橢圓的一個短軸端點(diǎn)，如圖2；再將這個橢圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，已知此時點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），如圖3，在圖形變化過程中，圖1中線段AM的長度對應(yīng)于圖3中的橢圓弧ADM的長度．圖3中直線AM與直線y=-2交于點(diǎn)N（n，-2），則與實(shí)數(shù)m對應(yīng)的實(shí)數(shù)就是n，記作f（m）=n，

現(xiàn)給出下列5個命題①f(
k
2
)=6；②函數(shù)f（m）是奇函數(shù)；③函數(shù)f（m）在（0，k）上單調(diào)遞增；④函數(shù)f（m）的圖象關(guān)于點(diǎn)(
k
2
，0)對稱；⑤函數(shù)f(m)=3
3
時AM過橢圓的右焦點(diǎn)．其中所有的真命題是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年湖南省懷化市高三第二次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題

下圖展示了一個由區(qū)間（其中為一正實(shí)數(shù))到實(shí)數(shù)集R上的映射過程：區(qū)間中的實(shí)數(shù)對應(yīng)線段上的點(diǎn)，如圖1；將線段圍成一個離心率為的橢圓，使兩端點(diǎn)、恰好重合于橢圓的一個短軸端點(diǎn)，如圖2 ；再將這個橢圓放在平面直角坐標(biāo)系中，使其中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在軸上，已知此時點(diǎn)的坐標(biāo)為，如圖3，在圖形變化過程中，圖1中線段的長度對應(yīng)于圖3中的橢圓弧ADM的長度.圖3中直線與直線交于點(diǎn)，則與實(shí)數(shù)對應(yīng)的實(shí)數(shù)就是，記作,

現(xiàn)給出下列5個命題

①；   ②函數(shù)是奇函數(shù)；③函數(shù)在上單調(diào)遞增；   ④.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；⑤函數(shù)時AM過橢圓的右焦點(diǎn).其中所有的真命題是:    （   ）

A.①③⑤          B.②③④                       C.②③⑤             D.③④⑤

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012屆重慶市“名校聯(lián)盟”高二第一次聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，長軸長是短軸

長的2倍，且經(jīng)過點(diǎn)M. 平行于OM的直線在軸上的截距為并交橢

圓C于A、B兩個不同點(diǎn).

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求的取值范圍；

y
 
（3）求證：直線MA、MB與軸始終圍成一個等腰三角形.

 

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