Question

在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，sin

C

2

=

6

3

，a=b=3，點P是邊AB上的一個三等分點，則

CP

•

CB

+

CP

•

CA

=（　�。�

• A、0
• B、6
• C、9
• D、12

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,余弦定理

專題：平面向量及應用

分析：過點C作CO⊥AB，垂足為O．如圖所示，C(0，

3

)．由sin

C

2

=

6

3

，可得cos

C

2

=

1-sin2 C 2

，CO，AO=OB=

a2-CO2

．分別取點P靠近點B，A的三等分點．可得P．利用向量的三角形法則、坐標運算、數量積運算即可得出．

解答： 解：過點C作CO⊥AB，垂足為O．如圖所示，C(0，

3

)．
∵sin

C

2

=

6

3

，∴cos

C

2

=

1-sin2 C 2

=

3

3

．
∴CO=

3

．
∴AO=OB=

32-( 3 )2

=

6

．
取點P靠近點B的三等分點．
則P(

6

3

，0)．
∴

CP

•

CB

+

CP

•

CA

=

CP

•2

CO

=2(

6

3

，-

3

)•(0，-

3

)=6．
同理取點P靠近點A的三等分點答案也是6．
∴

CP

•

CB

+

CP

•

CA

=6．
故選：B．

點評：本題考查了向量的三角形法則、坐標運算、數量積運算、同角三角函數基本關系式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．