Question

已知橢圓G的中心是原點O，對稱軸是坐標軸，拋物線y2=4

3

x的焦點是G的一個焦點，且離心率e=

3

2

．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）已知圓M的方程是x²+y²=R²（1＜R＜2），設直線l與圓M和橢圓G都相切，且切點分別為A，B．求當R為何值時，|AB|取得最大值？并求出最大值．

Answer 1

分析：（I）依題意可設橢圓G的方程，利用拋物線y2=4

3

x的焦點是G的一個焦點，且離心率e=

3

2

，求得幾何量，即可求橢圓G的方程；
（II）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用直線與圓、橢圓相切，確定參數(shù)之間的關系，表示出|AB|，利用基本不等式，可求|AB|最大值．

解答：解：（I）依題意可設橢圓G的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，則
因為拋物線y2=4

3

x的焦點坐標為(

3

，0)，所以c=

3

，
又因為e=

3

2

，所以

c

a

=

3

2

，所以a=2，b=

a2-c2

=1，
故橢圓G的方程為

x2

4

+y2=1．…（5分）
（II）由題意知直線l的斜率存在，所以可設直線l：y=kx+m，即kx-y+m=0
∵直線l和圓M相切，∴

|m|

k2+1

=R，即m²=R²（k²+1）①
聯(lián)立方程組

y=kx+m x2 4 +y2=1

消去y整理可得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
∵直線l和橢圓G相切，∴△=64k²m²-4（1+4k²）（4m²-4）=0，即m²=4k²+1②
由①②可得k2=

R2-1

4-R2

，m2=

3R2

4-R2

設點B的坐標為（x₀，y₀），則有x02=

4m2-4

1+4k2

=

16R2-16

3R2

，y02=1-

x02

4

=

4-R2

3R2

，
所以|OB|2=x02+y02=

15R2-12

3R2

=5-

4

R2

，
所以|AB|2=|OB|2-|OA|2=5-

4

R2

-R2=5-(R2+

4

R2

)≤5-2

R2• 4 R2

=1
等號僅當R2=

4

R2

，即R=

2

取得
故當R=

2

時，|AB|取得最大值，最大值為1．…（14分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查基本不等式的運用，正確表示|AB|是解題的關鍵．