Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²+

a

x

，
（1）若a=1，試用定義法證明f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)；
（2）若f（x）在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）把a=1代入函數(shù)的表達式，得到f（x）=

1

2

x²+

1

x

，設(shè)x₁＞x₂≥1，根據(jù)定義證明即可；
（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由f′（x）≥0，轉(zhuǎn)化為a≤x³在[2，+∞）恒成立，從而求出a的范圍．

解答： 解：（1）a=1時，f（x）=

1

2

x²+

1

x

，
設(shè)x₁＞x₂≥1，
∴f（x₁）-f（x₂）=

1

2

x12+

1

x1

-

1

2

x22-

1

x2

=

1

2

（x12-x22）+（

1

x1

-

1

x2

）
=（x₁-x₂）•

x1x2(x1+x2)-1

2x1x2

，
∵x₁＞x₂≥1，
∴x₁-x₂＞0，x₁x₂（x₁+x₂）＞1，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)；
（2）∵f′（x）=x-

a

x2

=

x3-a

x2

，
∵f（x）在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，
∴x³-a≥0在[2，+∞）恒成立，即a≤x³在[2，+∞）恒成立，
∴a≤x³_min=8，
故a的范圍是：（-∞，8]．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查了求參數(shù)的范圍問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．