Question

【題目】已知函數(shù).

（1）判斷并證明函數(shù)的奇偶性；

（2）判斷當(dāng)時函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明；

（3）若定義域為，解不等式.

【答案】（1）奇函數(shù)（2）增函數(shù)（3）

【解析】試題分析：（1）判斷與證明函數(shù)的奇偶性，首先要確定函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系，如果對定義域上的任意x，都滿足f(-x)=f(x)就是偶函數(shù)，如果f(-x)=-f(x)就是奇函數(shù)，否則是非奇非偶函數(shù)。（2）利函數(shù)單調(diào)性定義證明單調(diào)性，按假設(shè)，作差，化簡，判斷，下結(jié)論五個步驟。（3）由（1）（2）奇函數(shù)在（-1，1）為單調(diào)函數(shù)，

原不等式變形為f(2x-1)<-f(x),即f(2x-1)<f(-x),再由函數(shù)的單調(diào)性及定義（-1，1）求解得x范圍。

試題解析：（1）函數(shù)為奇函數(shù)．證明如下：

定義域為

又

為奇函數(shù)

（2）函數(shù)在（-1，1）為單調(diào)函數(shù)．證明如下：

任取，則

，

即

故在（-1，1）上為增函數(shù)

（3）由（1）、（2）可得

則

解得：

所以，原不等式的解集為

【點睛】

（1）奇偶性：判斷與證明函數(shù)的奇偶性，首先要確定函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，再判斷f(-x)與f(x)的關(guān)系，如果對定義域上的任意x，都滿足f(-x)=f(x)就是偶函數(shù)，如果f(-x)=-f(x)就是奇函數(shù)，否則是非奇非偶函數(shù)。

（2）單調(diào)性：利函數(shù)單調(diào)性定義證明單調(diào)性，按假設(shè)，作差，化簡，定號，下結(jié)論五個步驟。

【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】已知函數(shù).

（1）若的定義域和值域均是，求實數(shù)的值；

（2）若在區(qū)間上是減函數(shù)，且對任意的，都有，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若，且對任意的，都存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：（1）先利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故在單調(diào)遞減，然后由定義域與值域列出等式關(guān)系，從而求解即可；（2）由（1）可知，初步確定的取值范圍，然后確定時函數(shù)的最大值，從中求解不等式組即可；（3）將“對任意的，都存在，使得成立”轉(zhuǎn)化為時，的值域包含了在的值域，然后進行分別求在的值域，從集合間的包含關(guān)系即可求出的取值范圍.

試題解析：（1）∵

∴在上單調(diào)遞減，又，∴在上單調(diào)遞減，

∴，∴，∴4分

（2）∵在區(qū)間上是減函數(shù)，∴，∴

∴，

∴時，

又∵對任意的，都有，

∴，即，也就是

綜上可知8分

（3）∵在上遞增，在上遞減，

當(dāng)時，，

∵對任意的，都存在，使得成立

∴

∴，所以13分