Question

正四面體A-BCD中E、F分別是棱BC和AD之中點(diǎn)，則EF和AB所成的角

1. A.
   45°
2. B.
   60°
3. C.
   90°
4. D.
   30°

Answer 1

A
分析：取AC的中點(diǎn)H，連接FH、EH、FC、FB．設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為2a，可以求得BF=CF=a，所以在等腰△BCF中，求出EF=a．在△ABC中，利用中位線得EH∥AB，所以∠FEH或其補(bǔ)角就是EF和AB所成的角．最后在△EFH中，根據(jù)HE=HF=a，EF=a，利用余弦定理，可得cos∠FEH=，所以∠FEH=45°，從而得到正確答案．
解答：取AC的中點(diǎn)H，連接FH、EH、FC、FB
設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為2a，則
等邊△ABD中，中線BF=•2a=a，同理可得CF=a，
∴△FBC中，BF=CF=a，BC=2a，E是BC中點(diǎn)
所以，由勾股定理得EF=
∵△ABC中，E、H分別是BC、AC的中點(diǎn)
∴EH∥AB，可得∠FEH或其補(bǔ)角就是EF和AB所成的角
∵HE、HF分別是等邊△ABC、等邊△ADC的中位線
∴HE=HF=a
∵△EFH中，HE=HF=a，EF=a
∴cos∠FEH==，可得∠FEH=45°
即異面直線EF和AB所成的角為45°．
故選A
點(diǎn)評(píng)：本題給出正四面體一組對(duì)棱的中點(diǎn)，求它們的連線與異面的棱所成的角，著重考查了空間異面直線及其所成的角的求法，屬于基礎(chǔ)題．