Question

【題目】已知函數

（1）若，求曲線 在點處的切線方程；

（2）當時，討論函數的單調性。

Answer 1

【答案】(1) (2) 當時， 在上單調遞增；

當時，單調遞增區(qū)間為；單調遞減區(qū)間為；

當時，單調遞增區(qū)間為；單調遞減區(qū)間為；

【解析】試題分析：（1）求出函數的導數，計算的值，利用點斜式求出切線方程即可；（2）求出，分三種情況討論的范圍，分別令求得 的范圍，可得函數增區(qū)間，令求得 的范圍，可得函數的減區(qū)間.

試題解析：（1）當時，，所以切線的斜率 ，

又在點處的切線方程為，

即。

（2），令，得或，

①當時，恒成立，所以在上單調遞增；

②當時，，由，得或；由，得，

所以單調遞增區(qū)間為；單調遞減區(qū)間為；

③當時，，由，得或；由，得，

所以單調遞增區(qū)間為；單調遞減區(qū)間為；

綜上所述，當時，恒成立，所以在上單調遞增；

當時，單調遞增區(qū)間為；單調遞減區(qū)間為；

當時，單調遞增區(qū)間為；單調遞減區(qū)間為；

【方法點晴】本題主要考查利用導數求曲線切線方程以及利用導數研究函數的單調性，屬于中檔題. 求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導數，即在點 出的切線斜率（當曲線在處的切線與軸平行時，在 處導數不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.